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1 de Octubre de 2019
Sistemas dinámicos

Las constantes universales del caos (2)

De los sistemas dinámicos a la renormalización.

Primeras ramificaciones del árbol de Feigenbaum para la función logística f(x,μ). Las constantes δ y α se definen en términos de los valores μn y las distancias dn indicadas en la figura. En el eje vertical, el punto x* marca los «puntos superestables» (aquellos donde la primera derivada se anula). [CORTESÍA DE BARTOLO LUQUE]

El mes pasado, en homenaje al físico matemático Mitchell Feigenbaum, fallecido recientemente, describimos la ruta al caos por bifurcación de período de la función logística,

 f(xn,µ) = µxn(1 – xn) , 

la cual daba lugar al famoso árbol de Feigenbaum. Vimos que, en dicho diagrama, Feigenbaum encontró numéricamente que las distancias sucesivas entre puntos de bifurcación (véase la figura), 

Δn = µn+1µn ,

se contraían geométricamente, 

Δn+1Δn/δ , 

y que, en el límite en el que n tiende a infinito, δ tomaba el valor

δ = 4,6692016... ,

hoy conocido como la constante δ de Feigenbaum.

En su momento, el propio Feigenbaum narró así lo que ocurrió tras su descubrimiento numérico:

Dediqué parte del día a tratar de aproximar mediante combinaciones de constantes conocidas el valor 4,669 de la tasa de convergencia. La tarea resultó infructuosa, salvo por el hecho de que dicho valor quedó grabado en mi memoria.

Poco después recordé que Paul Stein afirmaba que la cascada de bifurcaciones no es una propiedad exclusiva de la función logística, sino que también ocurre, por ejemplo, con xn+1 = µsen(πxn). Mi teoría funcional dependía fuertemente de que la no linealidad fuera cuadrática y no trascendente. De modo que mi interés en el problema aumentó.

Quizás un mes más tarde decidí computar numéricamente los valores µn para el caso trascendente. Este problema resultó mucho más lento de computar que el cuadrático. De nuevo aparecía la convergencia geométrica de µn y, otra vez sorprendentemente, el valor era 4,669, que recordaba perfectamente gracias a mis esfuerzos vanos para aproximarlo.

Azuzado por las palabras del matemático Paul Stein, Feigenbaum encontró que sus constantes tomaban siempre el mismo valor para funciones unimodales que presentasen un máximo de orden cuadrático. De esta manera, obtuvo por primera vez un resultado universal en funciones discretas que, más tarde, se vería refrendado por multitud de datos experimentales.

Sin embargo, nos faltaba explicar cómo determinó Feigenbaum el valor y la universalidad de sus constantes a través de su «teoría funcional», como apuntaba en su texto. Para verlo, hoy seguiremos el esquema simplificado que presenta Steven Strogatz en su maravilloso libro Nonlinear dynamics and chaos.

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