Lo veo, lo demuestro... pero ¿lo entiendo?

Milagro 1: ¿Conoce bien la raíz de 2?

Solo de cabeza (sin utilizar ordenador, lápiz, papel o teléfono inteligente) encuentre la cifra decimal que ocupa la posición 200 después de la coma del número
(1 + √2)¹⁰⁰⁰.

Respuesta: Comencemos observando que el número

(1 + √2)¹⁰⁰⁰ + (1 - √2)¹⁰⁰⁰

es un entero, ya que, cuando lo desarrollamos, todos los términos que incluyen √2 se anulan entre sí. Así ocurre, por ejemplo, con el exponente 2: 

(1 + √2)² + (1 - √2)² =
1 + 2√2 + 2 + 1 - 2√2 + 2 = 6 .

Por otro lado, el número (1 - √2)¹⁰⁰⁰ es muy pequeño, ya que equivale a un número menor que 1/2 elevado a 1000. Puesto que 2¹⁰ = 1024, podemos ver que: 

(1 - √2)¹⁰⁰⁰ < 1/2¹⁰⁰⁰ = 1/1024¹⁰⁰
< 1/(10³)¹⁰⁰ = 1/10³⁰⁰ .

El número que figura en el enunciado es entonces la diferencia entre un número entero y otro menor que 0,000...0001, con 299 ceros después de la coma. Todas sus cifras entre la coma y la posición 300 son, por tanto, nueves.

Este pasatiempo pertenece a una sección de problemas firmada por Elwyn Berlekamp y Joe Buhler que apareció en el número de otoño de 1999 del boletín Emissary, una publicación del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas de la Universidad de California en Berkeley.

Milagro 2: Suma de cifras

La maga de los números le dice: «Tome un número entero cualquiera formado por cifras no decrecientes de izquierda a derecha y cuyas dos últimas cifras sean distintas entre sí (por ejemplo, 1.333.456.778). Multiplíquelo por 9». ­Después añade:
«Sé la suma de los dígitos del resultado». ¿Por qué?

Respuesta: La razón se debe a que tal suma siempre da 9. En nuestro ejemplo, 9 × 1.333.456.778 = 12.001.111.002, cuyos dígitos suman 9. Se trata de algo totalmente inesperado, ya que el número de partida puede ser muy largo y el que se obtiene al multiplicarlo por 9 lo será más aún.