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La trompeta de Torricelli y el pastel nupcial de Hilbert

¿Cómo puede una superficie infinita encerrar un volumen finito?

La trompeta de Torricelli, o cuerno de Gabriel, es el sólido de revolución que se obtiene al hacer girar en torno al eje X la función f(x) = 1/x para x ≥ 1. El propio Torricelli quedó sorprendido al comprobar que este objeto, infinitamente largo y de área también infinita, encerraba un volumen finito.

Evangelista Torricelli (1608-1647) fue alumno de Galileo Galilei y, aunque realizó contribuciones relevantes en física, es sobre todo recordado como el inventor del barómetro. Menos conocido es que en 1641 dejó una huella imperecedera en la matemática al descubrir un paradójico objeto geométrico que bautizó como «sólido hiperbólico agudo». Dicho objeto, que recuerda a una trompeta o a un cuerno extravagantemente largos, no es otro que el sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de la función f(x)=1/x alrededor del eje de abscisas para x ≥ 1 (véase la figura 1).

La trompeta de Torricelli, que es como se conoce hoy, posee la insólita propiedad de encerrar un volumen finito en el interior de una superficie infinita. Quizá por eso, los más dados a lo épico lo llaman «el cuerno de Gabriel», en referencia al instrumento con el que el arcángel Gabriel anunciará el día del Juicio Final.

Torricelli comunicó su desconcierto a Bonaventura Cavalieri, uno de los creadores de la técnica que había empleado para calcular el área y el volumen, quien al hacerlo público provocó una encendida controversia en la que participaron matemáticos y filósofos de la talla de ­Isaac ­Barrow o John Locke. La naturaleza paradójica del engendro geométrico resultó tan incómoda que Thomas Hobbes comentó: «Para entender el sentido de esto no se requiere ser geómetra o lógico, sino más bien estar loco».

El cuerno de Gabriel

El procedimiento que empleó Torricelli para obtener el volumen de su sólido es heredero del método de exhaustación griego. En términos modernos, calculó el volumen como la suma de los volúmenes de las infinitas rebanadas en que el objeto puede descomponerse.

Esta técnica resulta especialmente sencilla en el caso de un sólido de revolución generado a partir de una función cualquiera f(x). En tal situación, el objeto puede descomponerse en infinitas lonchas circulares de área π[f(x)]2 y altura infinitesimal dx. El volumen de cada una de ellas será π[f(x)]2dx,

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