Autosimilaridad y transiciones de fase

Del problema de las ocho reinas al grupo de renormalización.

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Muchos lectores estarán familiarizados con el concepto de fractal: un objeto geométrico (como el de la imagen de la derecha) cuya estructura básica se repite a distintas escalas. Así pues, se trata de objetos que son exacta o aproximadamente iguales a alguna de sus partes, una propiedad que se conoce como autosimilaridad.

La autosimilaridad es un concepto muy fructífero en física y matemáticas, y en esta columna veremos dos situaciones donde se aplica de formas opuestas: por un lado, ayuda a encontrar algunas soluciones para la generalización de un problema clásico relacionado con el ajedrez, que lo extiende a tableros infinitos; por el otro, nos permite calcular las propiedades de sistemas con un gran número de elementos, al agrupar estos en bloques que pueden interpretarse como nuevos elementos más simples.

Para ilustrar ese segundo uso, recurriremos a la percolación, una teoría de interés en matemáticas y mecánica estadística que se desarrolló para explicar el paso de un fluido a través de un material poroso y, de manera más amplia, estudia el momento exacto en que una red pasa de ser disconexa a estar conectada. Pero, primero, comencemos jugando un poco al ajedrez.

El problema de las ocho reinas

En 1848, el maestro de ajedrez Max Bezzel publicó (bajo el seudónimo Schachfreund) el problema de las ocho reinas en la revista alemana de ajedrez Berliner Schachzeitung. El rompecabezas consiste en determinar de cuántas formas distintas se pueden disponer 8 damas sobre un tablero de ajedrez de modo que ninguna de ellas ataque a otra. Un tablero posee 8 × 8 casillas, y cualquier solución debe cumplir que no haya dos reinas en la misma fila, columna o diagonal. Dos años después, el matemático Franz Nauck demostró que había 92 posibles soluciones, aunque en realidad solo 12 de ellas son distintas, pues el resto puede obtenerse mediante rotaciones y reflexiones. En la figura 1 se muestra una de esas configuraciones.

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