La transformación de la matemática en el siglo XVII

La introducción de notación simbólica cambió la manera de pensar y afrontar problemas en matemáticas: el caso de Pietro Mengoli y la cuadratura del círculo.

Tabla triangular publicada por Pietro Mengoli en su obra Circolo, de 1672. Inspiradas en el triángulo combinatorio, cada elemento es una expresión algebraica asociada a una figura geométrica. [PIETRO MENGOLI, 1672 (DOMINIO PÚBLICO)]

La matemática del siglo XVII se desarrolló a través de la interacción de tres fuerzas fundamentales: la herencia clásica, ejemplificada por la recuperación directa de las obras de Euclides, Arquímedes y otros; la «revolución del infinito», debida a la extensión de la matemática al uso de algoritmos infinitos y al estudio de objetos geométricos de dimensión infinita; y la emergencia del álgebra y su aplicación a la resolución de problemas. Este desarrollo, que duró aproximadamente un siglo, conllevó dos innovaciones en la matemática: la creación de lo que hoy conocemos como geometría analítica y cálculo infinitesimal. Con el tiempo, estas disciplinas alcanzaron un poder excepcional, al establecer conexiones entre las operaciones algebraicas y las construcciones geométricas.

En este proceso, un paso decisivo para tratar curvas geométricas mediante expresiones algebraicas fue la publicación, en 1591, de In artem analyticen isagoge («Introducción al arte analítico»), de François Viète. En ella, el matemático francés utilizó símbolos para representar no solo las incógnitas, sino también las cantidades conocidas. Introdujo la «logística especiosa», un método de cálculo con «especies» (tipos o clases de elementos), de tal manera que los símbolos de su «arte analítico» (o álgebra) podían usarse para representar no solo números, sino también valores de cualquier magnitud abstracta. Viète concibió un método analítico-algebraico que facilitó resolver problemas de cualquier naturaleza, ya fuese numérica o geométrica, usando como herramienta el nuevo lenguaje simbólico.

Gracias a la circulación de las obras de Viète, de Fermat y, sobre todo, a La géométrie de Descartes (1637), el lenguaje simbólico y los procedimientos analítico-algebraicos se aplicaron durante el siglo XVII a diferentes campos. Dichos procedimientos usaban un lenguaje nuevo de símbolos y técnicas. No se trataba solo de una notación, sino de una herramienta esencial que provocó el cambio de un pensamiento casi exclusivamente geométrico a uno cada vez más algebraico, lo que permitió diversas aproximaciones y métodos para afrontar un mismo problema. En concreto, varios autores del siglo XVII, como Leibniz, John Wallis o el italiano Pietro Mengoli, emplearon procedimientos analítico-algebraicos para aproximar la cuadratura del círculo.

Un buen ejemplo nos lo proporciona la obra pionera Geometriae speciosae elementa, publicada por Mengoli en 1659. Se trata de un texto de 472 páginas sobre matemáticas puras, cuyo título («Elementos de geometría especiosa») ya indica el uso del método analítico y del lenguaje simbólico, sobre todo en geometría. Mengoli creó así una «geometría especiosa» basada en el «álgebra especiosa» de Viète, ya que empleaba un lenguaje que usaba símbolos para representar todo tipo de magnitudes abstractas.

Mengoli inventó una nueva forma de escribir y calcular sumas finitas de potencias y productos de potencias. No les dio valores ni los escribió utilizando el signo + y los puntos suspensivos, sino que creó una construcción simbólica innovadora y eficaz que le permitiría calcular estas sumas (que él llamaba «especies») y operar con ellas. Por ejemplo, la notación O.a expresaba el sumatorio de los primeros t – 1 números naturales.

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