Dardos y conjuntos infinitos

El problema del continuo a la luz de la teoría de la probabilidad.

© FIRSTPENTUER/THINKSTOCK

En el año 1900, en la Sorbona, el matemático alemán David Hilbert presentó una lista de problemas que definirían gran parte de la agenda matemática del siglo XX. El primero de ellos se conoce hoy como problema del continuo.

Para formularlo basta con introducir un par de definiciones sencillas. Si A y B son dos conjuntos, diremos que una función f de A a B es biyectiva si y solo si es «uno a uno»: es decir, si f asocia a cada elemento de A un elemento de B (y solo uno) y, al mismo tiempo, cada elemento de B «procede» de un elemento de (y solo de uno de ellos). Por esta razón, se dice que dos conjuntos tienen el mismo tamaño si y solo si existe una función biyectiva entre ellos.

Si A y B son conjuntos infinitos de números naturales, siempre existirá una función biyectiva entre A y B. Pero si A y B son dos conjuntos infinitos cualesquiera, en general no podremos garantizar que haya una función biyectiva entre A y B.

En particular, sabemos que no existe ninguna función biyectiva entre ℕ, el conjunto de números naturales, y [0,1], el conjunto de todos los números reales comprendidos entre 0 y 1, ambos inclusive. Dicho de otra manera, si bien ambos conjuntos son infinitos, [0,1] es más grande que ℕ [véase «El infinito», por Agustín Rayo; Investigación y Ciencia, diciembre de 2008].

Puedes obtener el artículo en...

¿Tienes acceso a la revista?

Los boletines de Investigación y Ciencia

Elige qué contenidos quieres recibir.