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1 de Diciembre de 2019
Matemáticas

Cálculo para todos los públicos

Un repaso a la historia, ideas y aplicaciones de una de las herramientas matemáticas que han construido nuestro mundo.

INFINITE POWERS
HOW CALCULUS REVEALS THE SECRETS OF THE UNIVERSE
Steven Strogatz
Houghton Mifflin Harcourt, 2019

 

Steven Strogatz es profesor de matemática aplicada en la Universidad Cornell desde 1994. Antes pasó por Princeton, Cambridge, Harvard y el Instituto de Tecnología de Massachusetts. Probablemente su contribución más conocida sea un trabajo publicado en Nature en 1998 junto con Duncan Watts, por aquel entonces estudiante suyo, sobre las llamadas «redes de mundo pequeño». Aquel estudio marcaría el nacimiento de la teoría moderna de redes complejas y acabaría por convertirse en el sexto artículo de física más citado de todos los tiempos [véase «La ciencia de redes cumple 20 años», por Alessandro Vespignani; Investigación y Ciencia, diciembre de 2018].

Strogatz es experto en dinámica no lineal y sistemas complejos, y suele inspirarse para investigar en «curiosidades de la vida cotidiana»: temas cercanos que, iluminados por la matemática, se tornan sorprendentes. Además de un referente en su área de investigación, es un gran maestro y comunicador. Infinite powers, un superventas según el New York Times, es su libro más reciente. Previamente había escrito Nonlinear dynamics and chaos (1994), Sync (2003), The calculus of friendship (2009) y The joy of x (2012).

En las primeras páginas de Infinite powers Strogatz nos deja clara su intención: hacer accesible la historia y las grandes ideas del cálculo al público general, convenciéndonos del papel clave que ha desempeñado el análisis matemático en la construcción de nuestro mundo. El tema del libro es «cómo cambian las cosas». Y, para Strogatz, las matemáticas no solo nos permiten describir esos cambios, no solo son el lenguaje de la ciencia, sino que constituyen una forma de razonar que concluye en predicciones que se ajustan asombrosamente bien a la realidad.

Si usted se dedica a la enseñanza de las matemáticas, como es mi caso, seguro que le han preguntado una infinidad de veces para qué sirve esta disciplina. El libro de Strogatz comienza con un par de ejemplos que responden con ingenio a esta pregunta: inventos como el láser o las comunicaciones inalámbricas que disfrutamos —o padecemos— hoy en día nunca hubieran sido posibles sin el cálculo. Al formalizar los descubrimientos empíricos de Michael Faraday y André-Marie Ampère sobre la electricidad y el magnetismo, James Clerk Maxwell predijo matemáticamente las ondas electromagnéticas. Poco después, Heinrich Hertz demostró experimentalmente su existencia, lo que más tarde concluyó en el primer sistema de radiocomunicación por parte de Nikola Tesla. La historia del láser es similar. Predicho teóricamente por Albert Einstein, inunda hoy nuestra tecnología.

Cada capítulo del libro nos muestra algún ejemplo semejante del papel que la matemática ha ejercido en el desarrollo del GPS, de los mallados triangulares para la animación digital, en el estudio del empaquetamiento del ADN o en el uso de «ondículas» (wavelets) para clasificar huellas digitales, por nombrar solo algunos ejemplos. Por desgracia, puesto que la obra está dedicada a un público sin conocimientos matemáticos, el libro no acaba de entrar en detalles en ningún caso. Ello puede suponer un coitus interruptus para el lector más avezado, aunque también puede resultar un acicate para que quien lo desee explore por su cuenta a mayores profundidades.

Según Strogatz, la impresionante eficacia del cálculo puede resumirse en la siguiente estrategia: «Para resolver un problema difícil sobre cualquier cosa continua, rebánela en infinitas partes y resuelva cada una de ellas. Entonces podrá obtener la respuesta al problema original juntando todas esas respuestas parciales. He llamado a este credo el Principio Infinito». Como consecuencia, el autor nos presenta el cálculo en dos partes bien diferenciadas: el cálculo diferencial, que trocea nuestro problema, y el cálculo integral, que finalmente suma las partes.

La obra sigue un recorrido histórico donde prima la aplicación de la matemática a su versión más pura. Por eso el primer personaje estrella es Arquímedes, en vez de Pitágoras. Comienza con el concepto capital de infinito, mostrando cómo la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga no resulta paradójica vista desde el análisis. Y presenta las ideas de Arquímedes, adelantadas 2000 años a su tiempo («¿Ha existido alguna vez alguien más adelantado a su tiempo?»), sobre el cálculo del valor de pi usando polígonos y su prodigioso método de exhaución.

Con un salto de 1800 años pasa a Galileo, el racional heredero de Arquímedes que estableció las primeras leyes de la cinemática en la Tierra, y a Kepler, el místico heredero de Pitágoras que hizo lo propio con sus tres famosas leyes para los cielos. Luego nos relata el nacimiento de la geometría analítica y el encuentro entre la geometría y el álgebra a través de la poco conocida rivalidad entre Descartes, «un ego tan grande como su genio», y Fermat, que crea el embrión del cálculo diferencial al enfrentarse a problemas de optimización y acaba enunciando el principio de mínima acción.

Antes de relatar el famoso enfrentamiento entre Newton y Leibniz por la paternidad del cálculo diferencial, Strogatz explicita los tres problemas centrales del cálculo: encontrar la tangente a una curva en un punto; dadas las tangentes de una curva, encontrar la curva en sí; y hallar el área bajo una curva. Para abordarlos comienza por desentrañar «el enigma de la velocidad instantánea», tomando como ilustración la famosa carrera de los cien metros de Usain Bolt en los Juegos Olímpicos de Pekín en 2008, y sigue en esta línea hasta explicar «visualmente» el teorema fundamental del cálculo a través de sencillos ejemplos de cinemática.

Al igual que queda patente su predilección por Fermat frente a Descartes, ocurre lo mismo con Leibniz frente a Newton. Mientras que del primero afirma que fue «el genio más versátil en una centuria de genios que incluyen a Descartes, Galileo, Newton y Bach», de Newton apostilla: «Nunca se casó, y hasta donde sabemos nunca tuvo una relación romántica. Rara vez reía». Especialmente interesante resulta la discusión sobre el peliagudo concepto de infinitesimal («es más pequeño que cualquier cosa pero más grande que nada») y el tratamiento distendido que hace de los diferenciales, los desarrollos de potencias o las sumas telescópicas y su relación con las integrales.

Después de explicarnos cómo Newton construyó su sistema del mundo a partir de sus tres famosas leyes y de la ley de la gravitación universal (y cómo esas mismas herramientas nos permiten mejorar... ¡el diseño de arados!), nos encontramos el que, para mí, constituye el mejor ejemplo de los que aparecen en el libro: un modelo con ecuaciones diferenciales para el virus del sida debido a los matemáticos David Ho y Alan Perelson, el cual culminó con la estrategia de la terapia triple que se emplea hoy en día.

A partir del siglo XVIII se produce una «explosión cámbrica» en el cálculo que empieza a percolar en todas las áreas de la matemática. Strogatz nos introduce en las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales a través de los trabajos de Fourier sobre la ecuación del calor y de los famosos patrones de Chladni que estudió Sophie Germain. Una vez más aparecen ejemplos de aplicaciones como los hornos de microondas o la tomografía computarizada, para la que el aparataje matemático, debido a Johann Radon, estaba listo cuarenta años antes. Y, por supuesto, no podían faltar la inteligencia artificial y el aprendizaje automático. La obra cierra con tres ejemplos más: la sorprendente capacidad de predicción de la electrodinámica cuántica, el descubrimiento de la antimateria y la teoría general de la relatividad.

Si usted es un lector poco ducho en matemáticas y siente curiosidad por saber qué papel ha jugado el cálculo en la historia del pensamiento, este es sin duda su libro. Pero si las matemáticas están presentes en su vida como profesional de la educación o de la investigación, no creo que la obra vaya a contarle muchas cosas que no haya leído antes. Le decepcionará —aunque sea fan de Strogatz, como es mi caso— sencillamente porque el nivel le resultará muy superficial. Pero como sé que si usted es admirador de Strogatz lo leerá sí o sí, me gustaría añadir que el entusiasmo que desprende un autor ya consagrado como él resulta contagioso. Y esa energía es aire fresco para cualquiera.

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