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La función de Lambert

Las extraordinarias propiedades de una función ubicua que debería ser considerada elemental.

¿Una nueva función elemental? La función W de Lambert fue descubierta en el siglo XVIII por Johann Lambert y popularizada por Leonhard Euler. Aunque aparece en todo tipo de problemas, sigue sin ser considerada una función elemental, como el seno o el logaritmo. [GETTY IMAGES/MPVISUALS/ISTOCK]

Al resolver problemas de física, química o ingeniería, es habitual encontrarse con ecuaciones trascendentes como

yey = a ,

donde y es la incógnita y a una constante. Estas ecuaciones no pueden resolverse en términos de funciones elementales como polinomios, exponenciales, logaritmos o funciones trigonométricas. ¿Cómo se procede en estos casos?

Por supuesto, siempre podemos intentar hallar una solución numérica con ayuda de un ordenador. Pero si introducimos la ecuación anterior en un programa de cálculo simbólico, este nos devolverá la siguiente solución:

y = W(a) .

¿Qué es esa W(x)? Se trata de la función W de Lambert, la cual se define como la solución de la ecuación trascendente

W(x)eW(x) = x .

Observemos que W(x) es una función elemental implícita, puesto que la ecuación que la define está formada por funciones elementales. Y del mismo modo que el logaritmo es la inversa de la exponencial, W(x) no es más que la inversa de

x(W) = WeW ,

la cual podemos entender como una generalización de la exponencial.

A partir de la definición implícita de W podemos determinar fácilmente el valor de algunos argumentos, como W(0) = 0 o W(–1/e) = –1. Pero ¿qué aspecto tiene la gráfica de W(x)?

Esta última pregunta no es difícil de responder. Para ello basta con comenzar dibujando la gráfica de la función inversa, x(W) = WeW. Al hacerlo veremos que tiende asintóticamente a 0 por la izquierda y a infinito por la derecha, al igual que la exponencial. Sin embargo, observamos también una característica novedosa: x(W) tiene un mínimo en W = –1, donde x(W) = –1/e (véase la figura 1).

Para dibujar la gráfica de W(x) no tenemos más que reflejar la gráfica anterior con respecto al eje x = W (véase la figura 2). Vemos así que W(x) no está definida para los valores x<–1/e, tal y como ocurre con el logaritmo para valores negativos del argumento. Eso quiere decir que, para x < –1/e, nuestra ecuación WeW = x carece de soluciones reales.

Para x ≥ 0 hay asegurada una única solución real, como ocurre con el logaritmo para valores positivos del argumento. Sin embargo, debido a la presencia del mínimo de x(W) en W = –1, vemos que en el intervalo –1/e < x < 0 existen dos valores posibles de W(x); es decir, la función no está univaluada. Por ejemplo, la ecuación

WeW = –0,2

tiene como soluciones:

  W0(–0,2) = –0,259...

W–1(–0,2) = –2,542...

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