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La intersección entre la demostración, los indicios y la imaginación

En matemáticas, donde las demostraciones lo son todo, los indicios también importan. Pero estos dependen de un modelo, y la modelización conlleva sus riesgos. Así que ¿cuántos indicios bastan?

BIG MOUTH PARA QUANTA MAGAZINE

 

¿Sería capaz de encontrar el siguiente número de esta sucesión?

1, 2, 4, 8...

En caso de que necesite más información para decidirse, aquí tiene otro número:

1, 2, 4, 8, 16...

El siguiente elemento tiene que ser 32, ¿verdad? La pauta parece clara: para encontrar cada término de la sucesión, multiplicamos el anterior por dos. Así obtenemos 1 × 2 = 2, 2 × 2 = 4, 4 × 2 = 8 y 8 × 2 = 16. Por lo tanto, el siguiente número debería ser 16 × 2 = 32. ¿Qué más indicios necesitamos?

Aunque es perfectamente razonable pensar que la respuesta correcta es 32, resulta que no es así. Consideremos la sucesión representada en la figura 1.

Cada elemento se obtiene contando el número de regiones en que se divide un círculo al unir una serie de puntos situados sobre su circunferencia. Con un punto, se obtiene una única región (el propio círculo); con dos puntos, dos regiones; tres puntos producen cuatro regiones, mientras que cuatro y cinco puntos dan lugar a ocho y dieciséis regiones, respectivamente. Eso nos da la sucesión

1, 2, 4, 8, 16...

Pero ¿cuántas regiones se forman al unir seis puntos situados sobre una circunferencia?
Casi todo el mundo que se encuentra por primera vez con este problema piensa que la respuesta es 32. Pero no lo es: en realidad el círculo se divide en 31 regiones. Puede contarlas usted mismo en la figura 2. Y cuéntelas de nuevo para asegurarse.

Por supuesto, hay problemas que producen la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 y así sucesivamente, multiplicando cada término por dos para obtener el siguiente. Pero también hay otros, como el número máximo de regiones que se forman al unir puntos situados sobre una circunferencia, que resultan en la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, etc. Al ver los términos 1, 2, 4, 8, 16, podemos pensar que todos los indicios apuntan a que el siguiente elemento es 32. Pero bien podría tratarse de otro número.

Las matemáticas a menudo desafían nuestras expectativas y nos obligan a usar la imaginación. Esa es una de las razones por las que los matemáticos se afanan por hallar demostraciones y no meros indicios. Son las demostraciones las que establecen la verdad matemática. Todos los indicios disponibles pueden sugerir un cierto resultado, pero sin una demostración no podemos estar seguros.

A pesar de ello, los indicios son importantes y útiles en matemáticas. Con frecuencia, antes de demostrar algo jugamos un poco, exploramos, consideramos ejemplos y reunimos datos. Examinamos y sopesamos los indicios y decidimos cuál es el siguiente paso. Los resultados de este proceso dan forma a nuestras opiniones, indicándonos que deberíamos tratar de demostrar ciertos teoremas y de refutar otros.

Un ejemplo donde los indicios guían nuestro pensamiento matemático tanto como la demostración es la conjetura de los números primos gemelos. Estos son pares de números primos que difieren en dos unidades: por ejemplo, 3 y 5, 11 y 13, o 101 y 103. La conjetura de los primos gemelos afirma que no existe un par de primos gemelos que sea mayor que todos los demás. Es decir, que estos pares siguen apareciendo a medida que nos movemos hacia el infinito en la recta numérica.

Hablamos de la conjetura de los primos gemelos (y no del teorema de los primos gemelos) porque nadie ha sido capaz de demostrarla, a pesar de que es uno de los problemas más famosos en teoría de números. Pero existe la creencia generalizada de que es cierta, dada la gran cantidad de indicios que la apoyan.

Por ejemplo, a medida que buscamos números primos cada vez más grandes seguimos encontrando pares de primos gemelos: en el mayor par que se conoce, cada número tiene cerca de 400.000 dígitos. Además, se han demostrado algunos resultados similares a la conjetura de los primos gemelos. En 2013, Yitang Zhang sorprendió al mundo matemático al probar que hay infinitos pares de primos que difieren en 70 millones o menos. Este resultado dio origen a un proyecto polymath (esfuerzos colaborativos en los que trabajan matemáticos de todo el mundo), gracias al cual la cota se ha reducido de 70 millones a 246. Todavía no se ha demostrado que haya infinitos pares de primos que difieran en dos unidades —la conjetura de los primos gemelos—, pero 2 está mucho más cerca de 246 que de infinito.

Por estas y otras razones, creer que la conjetura de los primos gemelos es correcta, pese a que no haya sido demostrada, no es demasiado controvertido. Pero hay otras áreas de las matemáticas en las que el uso de los indicios para conformar una opinión resulta más cuestionable.

En el estudio de las curvas elípticas, el rango de una curva es, por así decirlo, una medida numérica de lo complejas que son sus soluciones. Durante muchos años, hubo consenso en que los rangos de las curvas elípticas no estaban acotados superiormente, es decir, en que el rango de una curva (o la complejidad de sus soluciones) podía ser arbitrariamente grande.

Pero un estudio reciente ha llevado a algunos matemáticos a pensar que, después de todo, los rangos podrían estar acotados. El trabajo presenta indicios que apuntan a que solo hay un número finito de curvas elípticas con rango mayor que 21.

Aun así, hay que ser cautos. Los indicios son convincentes, pero no provienen del mundo de las curvas elípticas, sino del de las matrices que los investigadores emplearon para modelizarlas. Los modelos matemáticos se usan en todos los ámbitos de la ciencia y pueden servir incluso para estudiar las propias matemáticas. Son herramientas increíblemente potentes que nos permiten pasar de un problema que no entendemos completamente a otro que controlamos mejor.

Pero usar modelos es algo muy delicado. No podemos estar seguros de si el comportamiento de nuestro modelo es lo bastante parecido al del sistema que queremos entender como para extraer conclusiones válidas. Ni tampoco de si el modelo reproduce de forma suficientemente precisa los aspectos realmente importantes de dicho sistema. Por eso puede ser difícil determinar si los indicios obtenidos a partir del modelo nos dicen algo acerca del problema original. Para entender mejor estas dificultades, emplearemos un modelo simple de una conjetura sencilla.

Imaginemos que queremos analizar la siguiente afirmación: dos líneas rectas cualesquiera, o bien se cortan, o bien son paralelas.

Por «cortarse» entendemos que las líneas comparten un punto, mientras que «paralelas» implica que ambas se extienden en la misma dirección sin cortarse (hay diferentes maneras de definir el paralelismo, pero adoptaremos esta por simplicidad).

Para investigar nuestra afirmación, vamos a establecer un modelo. Expresaremos las rectas en forma explícita, es decir, asumiremos que cada una puede representarse mediante una ecuación del tipo

y = mx + b,

donde m es la pendiente de la recta (esencialmente su inclinación) y b la ordenada en el origen (la altura a la que corta al eje vertical).

Esta modelización de las rectas nos ofrece una manera práctica de experimentar con ellas. Podemos generar una recta arbitraria eligiendo aleatoriamente un par de números, m y b. De esta forma, podemos coger un par de rectas al azar y comprobar qué pasa: ¿se cortan? ¿Apuntan en la misma dirección? ¿O sucede alguna otra cosa?

La figura 3 muestra algunos posibles resultados del experimento. En todas las gráficas, las dos rectas escogidas al azar se cortan. Si repitiésemos el experimento 1000 veces (o 10.000 veces, o un millón de veces), siempre encontraríamos que las rectas o se cortan o son paralelas. (De hecho, seguramente todos los pares de rectas se cortarían, ya que es complicado elegir al azar exactamente la misma pendiente para ambas rectas.)

Por lo tanto, tras analizar un millón de ejemplos, concluiríamos que la conjetura probablemente es cierta. Todos los indicios apoyan de manera abrumadora la afirmación de que cualquier par de rectas, o bien se cortan, o bien son paralelas.

Pero los indicios dependen del modelo, y la modelización conlleva sus riesgos. Veamos cuáles hemos corrido.

Un primer problema es que ciertas rectas son más probables de generar que otras. El gráfico 4 muestra 50 rectas con b = 0 y 0 ≤ m ≤ 1, mientras que en la figura 5 se representan 50 líneas con b = 0 y m ≥ 1.

Vemos que las rectas con pendientes entre 0 y 1 cubren una cuarta parte del plano, mientras que aquellas con pendientes mayores que 1 recubren otro cuarto. Pero parece mucho más probable escoger al azar un número mayor que 1 que uno entre 0 y 1. Por lo tanto, es mucho más probable seleccionar una recta de la segunda región que una de la primera. Eso quiere decir que las rectas con pendientes entre 0 y 1 estarán infrarrepresentadas en nuestro modelo. Si ocurriera algo extraño con ellas, seguramente no podríamos detectarlo.

Un análisis más detallado del segundo gráfico revela otro problema. A medida que m crece, las líneas se vuelven más empinadas, hasta llegar a la vertical. Pero ¿cuál es la pendiente de esta última? No está definida, ya que no podemos escoger ningún número m que genere una línea vertical. Eso implica que las rectas verticales no existen en nuestro modelo, por lo que seremos incapaces de experimentar con ellas. Hemos excluido esa posibilidad desde el principio, antes incluso de comenzar a reunir indicios.

Eso nos lleva al problema más grave de nuestro modelo. Cualquiera acostumbrado a pensar en tres dimensiones se habrá dado cuenta enseguida de que nuestra conjetura es falsa: las rectas no tienen por qué ser paralelas o cortarse. Imaginemos, por ejemplo, dos pasillos que discurren en distintas direcciones en dos plantas de un mismo edificio, como se ilustra en la figura 6. Este es un ejemplo de dos rectas que se cruzan y que, por lo tanto, ni son paralelas ni se cortan.

La característica esencial de dos líneas que se cruzan es que tienen que estar en planos distintos. Pero, como nuestro modelo identifica cada recta con una ecuación y = mx + b, estamos suponiendo automáticamente que todas ellas se encuentran en el mismo plano. Así, nuestro modelo solo generará indicios que apoyen nuestra conjetura, ya que, si dos rectas están en el mismo plano, es cierto que deben ser paralelas o cortarse. Nunca obtendremos indicios que sugieran otra posibilidad: las rectas que se cruzan no existen en nuestro modelo. Al igual que pasaba con las líneas verticales, el modelo ha excluido aquello que no hemos sido capaces de imaginar.

Este es un ejemplo muy simple que recurre a un modelo muy rudimentario y con gran cantidad de problemas, entre ellos la engorrosa cuestión de cómo escoger números aleatorios en un conjunto infinito.

Los matemáticos profesionales que estudian el rango de las curvas elípticas nunca cometerían los errores de bulto que hemos expuesto. Pero saben que deben ser cautos al trabajar con sus modelos porque, independientemente de lo útiles o interesantes que sean o de lo persuasivos que resulten los indicios obtenidos, podría haber algún aspecto de las curvas elípticas que no hayan imaginado. Y si no son capaces de imaginarlo, su modelo no puede incluirlo y los indicios no lo reflejarán.

Sea correcto o no, este nuevo modelo ha llevado a los matemáticos a pensar de manera productiva sobre las curvas elípticas. Si el modelo refleja la verdad, los resultados del mundo de las matrices podrían explicar por qué las curvas elípticas se comportan como lo hacen. En caso contrario, entender por qué no es posible modelizarlas así también podría conducir a una compresión más profunda del problema. De una manera u otra, puede que los indicios que obtengamos nos acerquen a la demostración.

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