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Matemáticas con filosofía y filosofía con matemáticas

De Cantor a Gödel pasando por Bayes.

ON THE BRINK OF PARADOX 
HIGHLIGHTS FROM THE INTERSECTION OF PHILOSOPHY AND MATHEMATICS
Agustín Rayo
MIT Press, 2019
320 págs.

 

Si usted disfrutaba, como yo, con las columnas de «Juegos matemáticos» de Agustín Rayo en Investigación y Ciencia, está de enhorabuena. Rayo sigue siendo profesor de filosofía en el Instituto de Tecnología de Massachusetts, y el éxito que tuvo un curso que impartió allí basado en parte en aquellas columnas ha acabado cristalizando en On the brink of paradox («Al borde de la paradoja»), editado por MIT Press el año pasado.

A pesar del título, y como ya avisa el autor, la obra no es una colección de paradojas —aunque desde luego aparecen unas cuantas—, sino una exploración de la intersección entre filosofía y matemáticas, como bien reza el subtítulo. Para entender qué quiere decir esto, déjenme que les explique la idea tomando como ejemplo la primera parte de las tres en que Rayo ha dividido la obra: «Infinito», «Decisiones, probabilidades y medidas» y «Computabilidad y el teorema de Gödel».

Rayo comienza su exposición con un clásico de la divulgación matemática: el hotel de Hilbert. Plantea así la aparente paradoja de que un subconjunto pueda tener tantos elementos como el conjunto al que pertenece, y nos cuenta cómo Cantor, a finales del siglo XIX, deshizo el entuerto usando la biyección entre conjuntos infinitos para determinar sus cardinalidades relativas. Seguidamente nos demuestra que los racionales poseen la misma cardinalidad que los naturales y que los reales poseen una cardinalidad mayor.

Hasta aquí lo que podríamos encontrar en un buen artículo de divulgación matemática, como la columna «El infinito» que Rayo escribió en diciembre de 2008 para esta revista. Ese ensayo de dos páginas acaba diciendo: «Cantor [...] probó también que un conjunto siempre tiene más subconjuntos que elementos. De esto se sigue que hay más subconjuntos de números reales que números reales, y más subconjuntos de subconjuntos de números reales que subconjuntos de números reales, y así sucesivamente. ¡Hay infinitos tamaños de infinito!». Un final que, a propósito, deja al lector con ganas de saber más.

En su libro, Rayo ofrece esa profundidad que por falta de espacio era imposible en una columna. Y lo logra de forma magistral, ofreciendo demostraciones del teorema de Cantor, definiendo la potenciación de conjuntos, el principio de la aditividad contable, los ordinales y su aritmética, y rematando todo con una discusión sobre la hipótesis del continuo. Digo que lo hace magistralmente porque, aparte de lo que nos cuenta, también nos ayuda a recorrer el camino por nosotros mismos a través de pequeños ejercicios cuyas respuestas aparecen al final de cada capítulo. De hecho, los dos primeros son la mejor exposición sobre el tema que he leído nunca.

Esta primera parte concluye con una serie de paradojas, puntuadas por dificultad e interés del 1 al 10 según la simpática escala del filósofo Mark Sainsbury, que, en su mayoría, involucran de una forma u otra el infinito. Rayo nos enganchó a algunas de ellas en columnas como «Cartas, monedas y sombreros» (febrero de 2009), «Sombreros e infinitos» (abril de 2009), «Los prisioneros y María» (agosto de 2009) o «El juego del diablo» (octubre de 2010). Ahora, el lector puede profundizar en ellas y en muchas otras tanto en el libro de cabecera como en las múltiples recomendaciones de lectura que hace Rayo en él.

En la introducción aparecen dos figuras que me han parecido sobresalientes. La primera es un grafo que nos permite decidir el orden de lectura de los capítulos según nuestros intereses: si, por ejemplo, nos interesa el capítulo 8, antes se nos recomienda leer el 7 y el 1. La segunda es una gráfica que indica la dificultad matemática y filosófica de cada capítulo, evaluada de 0 a 100. Así, los dos primeros puntúan alto en matemáticas y bajo en filosofía, mientras que en el tercero ocurre lo contrario: la discusión resulta más filosófica que matemática. Curiosamente, la dificultad matemática y la filosófica parecen estar en oposición de fase a lo largo de la obra.

El siguiente bloque, «Decisiones, probabilidades y medidas», puede parecer un cajón de sastre, pero eso no constituye un demérito, sino uno de los atractivos de la obra. Comienza tratando los viajes temporales y la paradoja del abuelo, extendiendo una vez más algunas de sus columnas, como «Viajes a través del tiempo» (octubre de 2009) y «¿Cómo sería el mundo si pudiéramos viajar al pasado?» (febrero de 2016), donde lo que realmente se discute es el libre albedrío. Después continúa con «El problema de Newcomb» (septiembre de 2008), donde se consideran la teoría causal de la decisión y su relación con el dilema del prisionero.

El corazón de este bloque, la teoría de la probabilidad, fue tratado someramente por Rayo en «¿Qué es la probabilidad?» (junio de 2011). Y, una vez más, a través de ejercicios guiados, recibimos un breve pero completo baño en teoría de la probabilidad, donde se abunda en la probabilidad subjetiva, el principio de indiferencia o cómo incorporar nueva información en coherencia con la ley de Bayes, por citar algunas cuestiones relevantes y prácticamente ausentes en la mayor parte de los textos académicos para universitarios. Por supuesto, todo salpicado con nuevas paradojas, como la de San Petersburgo o «La paradoja de los dos sobres» (junio de 2012).

El último bloque, dedicado a la computabilidad y el teorema de Gödel, vuelve a ser un excelente texto tan introductorio como riguroso a las máquinas de Turing y al concepto de función computable, donde se discute la famosa conjetura «P=NP» (abril de 2010) o cómo escribir el número más grande posible, una extensión de «El duelo de los números grandes» (agosto de 2008). Para acabar, tenemos una demostración del teorema de incompletitud de Gödel y su impacto filosófico («Gödel y la verdad axiomática», febrero de 2014), donde sin embargo se excluye una demostración basada en la noción de complejidad de Kolmogórov con la que Rayo nos sedujo en abril de 2012 en la columna «Ordenadores y números naturales», la cual les recomiendo leer si no lo hicieron en su momento.

El anterior libro de Rayo, The construction of logical space, editado por Oxford University Press en 2013, fue traducido al español dos años después como La construcción del espacio de posibilidades por el Instituto de Investigaciones Filosóficas de la Universidad Nacional Autónoma de México. Ojalá se repita la historia con esta nueva obra, que, aunque no sea para un público completamente general, es un raro diamante. Aborda ideas poco corrientes en los programas de estudio, como la teoría de la medida («Colecciones no medibles», octubre de 2012), el axioma de elección o «El teorema de Banach-Tarski» (diciembre de 2009), que por sí mismos ya la harían merecedora de un lugar en las bibliotecas universitarias. Y para alguien de ciencias como yo, es una novedad leer sobre cómo los filósofos modernos proponen, discuten e iluminan todos estos temas. Por ello también merece y se ha ganado un lugar en mi biblioteca.

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