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En la columna de Juegos Matemáticos «Lo veo, lo demuestro... pero ¿lo entiendo?» [por Jean-Paul Delahaye; Investigación y Ciencia, agosto de 2017], el «Milagro 3: ¿Un número excepcional?» afirma que, si partimos de un número de tres cifras no todas iguales, las reordenamos en orden decreciente y luego creciente, las restamos y repetimos la operación, llegaremos siempre al número 495, un hecho que parece carecer de explicación razonada. He creído encontrar una demostración.

Consideremos un número N = abc, con a  ≥ bc pero no todos iguales. El resultado de la diferencia abcbca es

X1 = [ac – 1] 9 [10 + ca] .

La suma de las cifras es 18, lo que ocurrirá siempre que llevemos a cabo este proceso. Vamos a obtener, además, un número con la segunda cifra igual a 9. Eso reduce los posibles resultados a los siguientes números:

099, 990, 198, 891, 297,

792, 396, 693, 495, 594.

Ahora nuestro número será de la forma X1 = x9y. Suponiendo (sin pérdida de generalidad) que xy y repitiendo el proceso, obtenemos

X2 = 9yxxy9 = [8 – x] 9 [1 + x] .

Como es lógico, los dígitos vuelven a sumar 18, pero ya solo influye en el resultado la cifra más pequeña.

Si, para simplificar, formamos pares de números con la primera y la última cifra (es decir, obviando el 9 del centro) y vemos la evolución de la secuencia, obtenemos, por ejemplo:

(0,9), (8,1), (7,2), (6,3),

(5,4), (4,5), (4,5), (4,5) ...

Nótese que habría dado lo mismo empezar por (9,0), ya que lo único que importa es el valor de la cifra menor, y no la posición que ocupa cada una. La secuencia siempre converge hacia el mismo resultado con independencia de cómo empecemos. Por ejemplo:

 (2,7), (6,3), (5,4), (4,5), (4,5), (4,5) ...

De esta manera es fácil ver por qué el proceso acaba siempre en (4,5), es decir, en 495, ya que es en ese momento cuando los lugares de las cifras se invierten (y, a partir de entonces, solo pueden permanecer iguales).

Nota: Además, es fácilmente demostrable que la resta es igual a 99(9–x); es decir, un múltiplo de 99, ya que

100(8–x) + 90 + 1 + x = 99(9–x) .

Raquel Clabo Clemente
Collado Villalba, Madrid

 

RESPONDE DELAHAYE: La demostración es correcta, muy clara y astuta. Hay que felicitar a la lectora. Es interesante disponer de una demostración tan corta para el caso del número 495. Con todo, me gustaría hacer dos observaciones.

Estos pasos demuestran el resultado, pero lo mismo ocurre con un cálculo sistemático que considere todos los casos posibles. El resultado aparece ahora algo más claro, pero sigue siendo bastante misterioso: lo veo, lo demuestro, pero ¿lo entiendo? La segunda observación es que el mismo método no se aplica al caso del número 6174, ni tampoco indica qué podría suceder al generalizar el problema a números de n cifras.

 

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