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1 de Diciembre de 2017
Teoría de números

El árbol de Farey y sus frutos irracionales

Un ingenioso método gráfico que permite entender de otra manera la estructura de los números reales.

ISTOCKPHOTO/KADRIYA

La revista londinense de tirada anual The Ladies’ Diary: Or, Woman’s Almanack («El diario de las damas, o almanaque de la mujer») gozó de larga vida. Como podía leerse en su subtítulo, desde 1704 hasta 1841 se publicaron en sus páginas calendarios astronómicos, acertijos, problemas matemáticos y «muchos entretenimientos adaptados para el uso y diversión del sexo débil». En la edición de 1747 apareció la siguiente cuestión de índole matemática: «Se pide encontrar el número de fracciones de diferentes valores, cada una menor que la unidad, tal que sus denominadores sean menores que 100».

Si se hubiera tratado de identificar todas las posibles fracciones con denominadores menores que 100, habría bastado con sumar 1 + 2 + ··· + 98 + 99, que da 4950 fracciones. Sin embargo, el enunciado especificaba «de diferentes valores», y esa respuesta estaría repitiendo muchos, como 10/10 = 99/99, 1/10 = 2/20, etcétera. Dicho de otro modo, el problema pedía encontrar el número de fracciones irreducibles de denominador menor que 100. Decimos que una fracción p/q es irreducible cuando p y q no tienen divisores comunes más allá del 1; es decir, cuando p y q son coprimos, o primos relativos.

Las soluciones que proponían los lectores de The Ladies’ Diary se publicaban en el número del año siguiente. Esta vez hubo que esperar cuatro. En 1751, alguien de nombre Fitcoin dio con la respuesta correcta: 3003 fracciones distintas.

 

Las fracciones de Farey

Acostumbrados a las fracciones desde la infancia, nos parecen objetos elementales. Pero no nos llevemos a engaño: se trata de una de las muchas formas en que podemos representar los números racionales, y de la relación entre tales representaciones se han extraído grandes gemas matemáticas.

El geólogo y ensayista inglés John Farey (1766-1826) escribió artículos sobre temas tan diversos como geología, música, monedas, ruedas de carro o cometas. En 1816 publicó un curioso resultado sobre fracciones en la revista Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine. Farey, que consideraba su hallazgo irrelevante, proponía ordenar de menor a mayor las fracciones irreducibles con denominador menor o igual que n pertenecientes al intervalo [0,1]. El resultado sería lo que hoy llamamos sucesión de Farey de orden n, denotada Fn.

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