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1 de Mayo de 2006
Lógica matemática

Los límites de la razón

Las ideas sobre la complejidad y el azar que ya adelantó Gottfried W. Leibniz en 1686, combinadas con la moderna teoría de la información, entrañan que nunca podrá existir una "teoría de todo" para la matemática en su conjunto.

kenn brown

En síntesis

Los teoremas de incompletitud de Gödel pusieron de manifiesto la existencia de enunciados matemáticos cuya validez no puede determinarse por medio de procedimientos formales.

Poco después, Alan Turing demostró la imposibilidad de resolver el problema de la detención: determinar por anticipado si un programa informático dado llegará o no a detenerse.

A partir de esa idea puede definirse el número omega, una cantidad concreta y carente de ambigüedades que, sin embargo, ningún programa informático po­drá calcular jamás.

El número omega revela la existencia de una incompletitud aún mayor: un número infinito de teoremas que no pueden demostrarse a partir de ningún sistema finito de axiomas.

Scientific American incluyó en 1956 un artículo de Ernest Nagel y James R. Newman titulado "Gödel’s Proof" (La demostración de Gödel). Estos autores publicaron un libro de igual título dos años después, una obra maravillosa que todavía está en catálogo. Por aquel entonces yo era un niño —ni siquiera un adolescente— y estaba obsesionado con ese librito. Aún recuerdo la emoción con que lo descubrí en la Biblioteca Pública de Nueva York. Solía llevarlo conmigo y trataba de explicárselo a los otros niños.

Mi fascinación se debía a que Kurt Gödel se hubiese valido de las matemáticas para demostrar los límites de las propias matemáticas. Gödel refutaba la posición de David Hilbert, quien hace aproximadamente un siglo declaraba que había una "teoría de todo" para la matemática, un conjunto finito de principios a partir de los cuales se podrían deducir de manera mecánica, aplicando tediosamente los principios de la lógica simbólica, todas las verdades matemáticas. Pero Gödel demostró que las matemáticas contienen enunciados verdaderos que no es posible probar mediante tal proceder. Su resultado se funda en dos paradojas autorreferenciales: "Este enunciado es falso" y "Este enunciado es indemostrable".

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