Historia de la matemática

De la manzana de Newton a los drones de Amazon

El tratamiento matemático de la mecánica clásica ha cambiado de manera notable a lo largo de los siglos. En los últimos años, una formulación en términos puramente geométricos ha dado lugar a nuevas aplicaciones en robótica e ingeniería.

LA MECÁNICA GEOMÉTRICA, una disciplina relativamente joven, ha permitido estudiar numerosos problemas mecánicos a partir de las propiedades geométricas y topológicas de ciertos espacios abstractos. [GETTY IMAGES/OCTOMESECAM/ISTOCKI]

En síntesis

La mecánica clásica suele concebirse como una disciplina limitada a las leyes de Newton y al cálculo vectorial que aprendemos en la secundaria. Sin embargo, su tratamiento matemático abarca formalismos mucho más ricos y potentes.

Una de sus encarnaciones actuales se basa en el empleo de la geometría diferencial, el área de las matemáticas que estudia las propiedades de los espacios curvos. Esta formulación se conoce como mecánica geométrica.

Esta nueva disciplina ha contribuido a desarrollar varios ámbitos de la geometría moderna, como la geometría simpléctica. Al mismo tiempo, ha encontrado numerosas aplicaciones en campos como la robótica o el control de drones.

Considere la siguiente situación cotidiana: usted se encuentra en la parada del autobús y desea saber cuándo pasará el siguiente. Para ello, saca el teléfono móvil del bolsillo, abre una aplicación y esta le indica que el próximo autobús llegará dentro de siete minutos. En efecto, pasado ese tiempo el vehículo se presenta en la parada.

Para ello es necesario que el autobús se encuentre equipado con un localizador GPS, que el localizador emita una señal electromagnética triangulada por varios satélites, y que estos repliquen la señal de manera sincronizada para que nuestro teléfono móvil pueda recibirla e interpretarla a través de los algoritmos apropiados.

Todo un prodigio que combina distintas ramas de la ciencia fundamental y la tecnología, desde el electromagnetismo hasta la ingeniería aeroespacial pasando por la relatividad general, la cual es necesaria para que la señal de los satélites alcance la precisión requerida. Sin embargo, desde un punto de vista más básico, todo comienza con dos cuerpos, el autobús y el satélite, que avanzan por el espacio a una velocidad mucho menor que la de la luz. Este es el régimen del que se ocupa la mecánica clásica, la rama más ampliamente conocida y estudiada de la física y una de las áreas más antiguas de la ciencia.

En el imaginario popular, la mecánica clásica suele verse reducida a las leyes de Newton y a la resolución de problemas simples, como péndulos o planos inclinados. Sin embargo, a lo largo de los siglos su formulación matemática ha pasado por varias encarnaciones muy distintas. Estas comprenden desde la mecánica vectorial que aprendemos en la escuela hasta otras versiones mucho más abstractas, como la mecánica analítica introducida en el siglo XVIII por Joseph-Louis Lagrange y desarrollada en el siglo XIX por William Rowan Hamilton, entre otros. Tanto estas formulaciones como otras posteriores han impulsado el desarrollo de las matemáticas en las que se basan, al tiempo que han permitido ampliar enormemente el dominio de aplicación de la mecánica.

Un ejemplo reciente nos lo proporcionan los drones, esos «insectos» de plástico y metal movidos por varias hélices que, cada vez más a menudo, vemos sobrevolando nuestras cabezas con su zumbido característico. Estos ingenios ganaron relevancia cuando Amazon se propuso emplearlos en su servicio de reparto, pero sus aplicaciones van mucho más allá: traslado de objetos, vigilancia, reconocimiento de terrenos inaccesibles, etcétera. Incluso han desempeñado funciones de control durante esta pandemia para detectar grandes agrupamientos de personas o fiestas ilegales. Desde el punto de vista de la mecánica, un dron es un cuerpo rígido caracterizado por una posición y una orientación en el espacio, y de su estudio y control se ocupa una de las formulaciones modernas de la mecánica. Esta se conoce con el nombre de mecánica geométrica y, como sugiere su nombre, se basa en abordar los problemas de la mecánica con herramientas de geometría avanzada.

En concreto, la mecánica geométrica puede definirse como la aplicación de la geometría diferencial en problemas de mecánica clásica. Se trata de una disciplina relativamente joven y cuya versión actual comenzó a gestarse hace apenas unas décadas de la mano de matemáticos tan célebres como Vladimir Arnold, Stephen Smale, Jerrold Marsden y Alan Weinstein, entre otros. Hoy la mecánica geométrica se aplica a todo tipo de problemas que serían inabordables si nos limitásemos a aplicar el formalismo de Newton. Tales aplicaciones incluyen campos como la robótica y, a su vez, han dado pie al nacimiento de nuevas áreas interdisciplinares a caballo entre las matemáticas y la ingeniería, como la teoría de control y la teoría de control óptimo.

Una ciencia milenaria

La mecánica, el estudio de cómo y por qué se mueven los cuerpos, constituye una de las ramas más antiguas de toda la ciencia. Desde tiempos inmemoriales, los humanos hemos construido lanzas, flechas, carros de guerra o pirámides, y para ello hemos tenido que basar todos sus elementos en las leyes de la mecánica clásica. Más adelante, en los siglos XVI y XVII, esta disciplina comenzó a aplicarse al movimiento de los cuerpos celestes gracias a las aportaciones de Copérnico, Galileo, Kepler y Newton.

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