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1 de Diciembre de 2018
Matemáticas

El problema sin solución

Tras un viaje intelectual de varios años, tres matemáticos han demostrado que el problema del salto espectral, una cuestión clave en física, es imposible de resolver.

MARK ROSS STUDIOS

En síntesis

En los años treinta del siglo XX, Kurt Gödel demostró que existen proposiciones matemáticas bien formuladas cuya veracidad o falsedad es imposible de demostrar. Tales cuestiones se denominan «indecidibles».

Un trabajo reciente ha demostrado que un problema clave en física cuántica pertenece a esa categoría. Dicho problema es el del salto espectral: la cuestión de si la diferencia de energía entre el estado fundamental de un sistema y el primer estado excitado es cero o no.

La demostración combina elementos de matemáticas, mecánica cuántica y teoría de la computación. El resultado sugiere que otras preguntas clave en física también podrían ser imposibles de responder de manera general.

Estábamos los tres sentados en una cafetería de Seefeld, una pequeña ciudad de los Alpes austriacos. Corría el verano de 2012 y estábamos atascados. No en la cafetería: el sol brillaba, la nieve refulgía y los hermosos alrededores nos tentaban a abandonar el problema en el que estábamos inmersos. Investigábamos la relación entre la mecánica cuántica y los resultados matemáticos obtenidos en el
siglo XX por Kurt Gödel y Alan Turing. Ese al menos era nuestro sueño. Uno que había comenzado en 2010, durante un programa de investigación en información cuántica celebrado en el Instituto Mittag-Leffler, cerca de Estocolmo.

Aunque algunas de las cuestiones que estábamos considerando ya habían sido estudiadas con anterioridad, para nosotros se trataba de una línea de investigación completamente nueva, por lo que habíamos decidido empezar con algo sencillo. En ese momento estábamos intentando demostrar un resultado no demasiado importante para hacernos una idea de cómo iban las cosas. Hacía meses que ya teníamos una prueba, pero, para que funcionara, había que formular el problema de una manera artificial y poco satisfactoria. Nos sentíamos como si estuviéramos cambiando la pregunta para adaptarla a la respuesta. Así que volvimos a retomar el problema durante la conferencia que nos había reunido en Seefeld. Entonces, medio en broma, uno de nosotros (Michael Wolf) preguntó: «¿Por qué no demostramos la indecidibilidad de algo que realmente le importe a la gente, como el problema del salto espectral?».

Por aquel entonces nos interesaba saber si ciertos problemas de la física eran decidibles o indecidibles; es decir, si pueden llegar a resolverse o no. Y nos habíamos atascado intentando demostrar la decidibilidad de una pregunta poco trascendente. Sin embargo, el problema del salto espectral (spectral gap) era uno de enorme importancia en física. Por aquel entonces no sabíamos si era decidible o no —aunque teníamos la corazonada de que no lo era— ni si seríamos capaces de demostrar una cosa o la otra. Pero, si lo lográbamos, los resultados serían de gran relevancia para la física, además de constituir un notable logro matemático. La ambiciosa sugerencia de Michael, hecha casi en broma, nos embarcó en una gran aventura. Tres años y 146 páginas de cálculos después, nuestra demostración de la indecidibilidad del problema del salto espectral se publicó en Nature.

Para entender qué significa todo esto, hemos de remontarnos al principio del siglo XX y examinar algunos de los elementos que dieron origen a la física, las matemáticas y la teoría de la computación modernas. Todas esas ideas dispares nos conducen hasta el matemático alemán David Hilbert, a menudo considerado como la figura más destacada de los últimos cien años en este campo.

Las matemáticas de la mecánica cuántica

La influencia de Hilbert en las matemáticas fue inmensa. Al principio de su carrera desarrolló una rama llamada análisis funcional y, en particular, otra conocida como teoría espectral, la cual terminaría siendo clave en nuestra demostración. Hilbert estaba interesado en ella por razones puramente abstractas. Pero, como ocurre en tantas ocasiones, sus matemáticas resultaron ser justo lo que hacía falta para entender una pregunta que desconcertaba a los físicos de entonces.

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