Limitaciones expresivas

¿Qué clase de enunciados no pueden formularse en el lenguaje de la aritmética?

Investigación y Ciencia

Consideremos un lenguaje formal genérico L. ¿Es posible determinar hasta dónde alcanza su poder expresivo? En otras palabras, ¿podemos caracterizar qué clase de enunciados no tienen cabida en L?

Comencemos por decir que un conjunto de enunciados de L es razonable si podemos programar un ordenador para que genere, uno a uno, todos los enunciados de dicho conjunto. Una de las consecuencias del teorema de incompletitud de Gödel [véase «Ordenadores y números naturales», por Agustín Rayo; Investigación y Ciencia, abril 2012] es que ningún conjunto razonable de enunciados puede contener toda la verdad sobre los números naturales. Pero ¿qué sucedería si nos permitiésemos conjuntos de enunciados tan complejos como fuese necesario? ¿Podríamos formular todo lo que hay que decir sobre los números naturales?

La respuesta, sin duda, depende de qué lenguaje utilicemos. Uno que solo contuviese nombres propios no nos permitiría llegar muy lejos. Sin embargo, si dispusiéramos de un lenguaje muy rico (uno que nos permitiese formular todos los teoremas fundamentales de la aritmética, por ejemplo), tal vez no fuese una locura pensar que podríamos capturar toda la verdad sobre los números naturales. Por desgracia, semejante objetivo resulta mucho más difícil de lo que parece.

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