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1 de Julio de 2015
Reseña

El mundo de las ecuaciones

Matemática y física de la vida diaria.

AN EQUATION FOR EVERY OCCASION. 52 FORMULAS AND WHY THEY MATTER
Por John M. Henshaw. With contributions from Steven Lewis. Johns Hopkins University Press, Baltimore, 2014.

Se recogen 52 relatos, inspirados en otras tantas ecuaciones. Barajan un mundo variopinto de esporas, negocios, historia, bellas artes, ciencia e ingeniería. Con ese rico anecdotario se pretende despertar el interés en la matemática y se subraya su poder y utilidad. Con ecuaciones podemos describir y entender los esquemas de Ponzi, el efecto placebo, «los años del can», el cociente intelectual, la mecánica ondulatoria de los tsunamis, el desastre del Challenger y mucho más. El libro no solo sirve para gozar de la matemática, sino también para comprender las obras del universo.

Cualquier editor suscribiría el consejo que se le dio a Stephen Hawking mientras redactaba su conocidísima A brief history of time: por cada ecuación que se incluya en el libro se pierde la mitad de las ventas. Ante tan obscuro panorama, recogió solo la ecuación de Einstein: E = mc2. Aquí aparece una ecuación al inicio del capítulo. Cabe desear con los autores que no se cumpla la previsión del editor de Hawking, que, en forma, diría: ventas reales = ventas potenciales/2n, donde n sería el número de ecuaciones del texto. Y puestos a escoger entre un matemático según Lord Kelvin y el común de los mortales, también los autores dicen numerarse entre los segundos. Espiguemos, al azar, un breve muestrario.

Entre las primeras ecuaciones que aprenden los escolares sobresale la que representa la ley newtoniana de la gravitación universal: F = Gm1m2/r2. Aparece en los Principia de Newton, publicados en 1687. Establece que la fuerza, F, que se ejerce entre dos cuerpos de masa m1 y m2, respectivamente, es directamente proporcional al producto de dichas masas (m1 × m2) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, r, entre ambos cuerpos. G simboliza la constante universal de la gravitación, que en libros como este leemos que vale aproximadamente 6,67 × 10–11 m3/(kg·s2).

Lo que los escolares desconocen es que cuesta mucho medir el valor exacto de la constante de la gravedad, porque es extremadamente débil, 39 órdenes de magnitud más débil que la fuerza eléctrica de un átomo. En junio de 2014 se publicó un estudio en el que el empleo de átomos fríos aportaba nuevos datos de interés para la determinación de la constante. Para llegar a esa determinación, los autores emplearon átomos enfriados con láser e interferometría cuántica. Obtuvieron el valor de G = 6,67191(99)×10–11 m3 kg–1 s–2 con una incertidumbre relativa de 150 partes por millón (la incertidumbre estándar combinada se da entre paréntesis). La interferometría de átomos es un método que se basa en la naturaleza ondulatoria de los átomos fríos para medir con precisión la aceleración gravitatoria.

Usando esa ley, Newton predijo con precisión el movimiento de la Luna en torno a la Tierra. Pero las confirmaciones más importantes llegaron tras su muerte, en 1727. Así, el planeta Urano fue descubierto por el astrónomo William Herschel en 1781. En 1846, Urano apenas si había completado una órbita alrededor del Sol desde su descubrimiento, pero había transcurrido tiempo suficiente para que los astrónomos se percataran de diversas anomalías en la trayectoria del planeta que podían explicarse por la ley de la gravitación universal. Todo apuntaba hacia la existencia de otro planeta escondido, otro cuerpo cuya masa causara las peculiaridades inexplicadas de la órbita. Fue un matemático, y no un astrónomo, quien descubrió el planeta esquivo, Neptuno. Ese año, Urbain Le Verrier aplicó la ley de gravitación universal para predecir correctamente la ubicación de Neptuno.

En 1916, Albert Einstein propuso tres pruebas para contrastar su teoría general de la relatividad. Una de ellas correspondía a las perturbaciones inexplicables de la órbita de Mercurio, el planeta más próximo al Sol. La teoría general de la relatividad explica la gravitación en términos de curvatura del espaciotiempo. La precesión «anómala» de la órbita del planeta no puede calcularse a partir de la ley de Newton pero sí con la teoría de la relatividad.

Otra ecuación de la vida diaria harto recurrida es la del índice de la masa corporal (IMC). El relato parece tomado de unos almacenas de ropa, si reparamos en el título: «¿Me ves gorda con estos vaqueros?». En forma, ese índice se expresa del modo siguiente: IMC = masa/altura2. Esto es, el índice de la masa corporal constituye la razón entre la masa en kilogramos y la altura en metros de un individuo adulto elevada al cuadrado.

Debemos esa fórmula a Adolphe Quetelet (1796-1874), un belga experto en estadística, matemática y astronomía. Buscaba un número que sirviera para categorizar a los individuos con relación a su altura corporal. Con la mera declaración del peso de un sujeto no sabemos en general si está obeso o se halla en una zona media, si desconocemos su altura. E ideó la fórmula que le permitía obtener una buena aproximación en una sola cifra. Se ha objetado que el cuadrado del denominador pudiera ser demasiado bajo y quizá fuera mejor sustituirlo por un exponente de 2,6. Hoy hacen uso del índice de Quetelet las compañías aseguradoras para determinar riesgos de salud y tabular la cuota.

El de masa corporal nos lleva a otro índice, el cociente intelectual: CI = (edad mental/edad real) × 100. La edad real remite a la edad cronológica. La ecuación predice un conciente de inteligencia de 100 para un niño «normal», es decir, aquel cuya edad mental coincide con su edad real. Los primeros tanteos en ese terreno se remontan hasta el año 1905, cuando se le encomendó al psicólogo André Binet (1857-1911) desarrollar un sistema para identificar a los niños que necesitasen ayuda en su desarrollo escolar.

Los trabajos iniciales de Binet fueron completados por otros investigadores. Y así se llegó a la ecuación reseñada, obra directa del psicólogo alemán Wilhelm Stern, quien la dio a conocer en 1912. De acuerdo con la misma, un niño de 10 años de edad que presenta una edad mental de 12 años tendrá un cociente intelectual de 120, que se obtiene de dividir 12 por 10 y multiplicar el resultado por 100. Esa herramienta se generalizó sin discernimiento en un afán por clasificar a todos, desde el genio hasta los lentos en aprender, y en muy diversas profesiones, con particular énfasis en los ejércitos o en los ingresos en la universidad.

Muy pocos se resisten a la belleza del teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2, la suma de los cuadrados de los catetos es igual cuadrado de la hipotenusa. Pone, pues, en relación los catetos de un triángulo rectángulo con su hipotenusa. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos mide 90 grados. Los dos catetos del triángulo miden, respectivamente, unas longitudes a y b. A la hipotenusa corresponde el símbolo c. Pitágoras había nacido probablemente en la isla griega de Samos, hacia 570 a.C. Su inquietud intelectual abarcaba todas las ramas del conocimiento, de la matemática a la música, pasando por la metafísica, la ética o la política. No hay fuentes directas de su vida. Cuanto sabemos procede de autores que escribieron varios siglos después de su muerte.

Uno de los lemas de los pitagóricos es que los números rigen el mundo. Se les atribuye también hallazgos en el campo de la acústica musical, como el tono musical de una cuerda vibrante, inversamente proporcional a su longitud, lo que constituía el primer ejemplo de cuantificación aplicada a un fenómeno natural. Por lo que se refiere a la paternidad del famoso teorema, se halla envuelta en el misterio. Fue conocido ya por los babilonios y quizá por los chinos, un milenio antes del nacimiento de Pitágoras. Lo que resulta menos controvertido es la aportación pitagórica a la demostración del teorema. Hasta 400 pruebas se han contado del teorema. El problema surge cuando pretendemos sustituir los cuadrados por una potencia superior, que inevitablemente nos lleva a otra ecuación histórica: el teorema de Fermat.

El denominado último teorema de Fermat se expresa en forma: an + bn = cn. El exponente designa cualquier número entero positivo, y el teorema establece que no existen soluciones posibles de la ecuación para un n mayor que 2. Propuesto como conjetura en 1637 por Pierre de Fermat, no se demostró hasta 1994, hazaña realizada por Andrew Wiles. Sabemos que esa ecuación se cumple en infinito número de casos cuando n vale 1, siempre que a, b y c sean números enteros mayores que cero. Cuando n vale 2 tenemos el teorema de Pitágoras: si a, b y c son enteros positivos, entonces hay multitud de casos en que la ecuación se cumple. Si la potencia es de 3 en adelante, el último teorema de Fermat establece que la ecuación no tiene soluciones enteras. Lo que plantea bastantes interrogantes. ¿Podemos afirmar que, habiendo un número infinito de posibilidades para a, b y c, no exista ningún caso en que la ecuación sea cierta si n es mayor que 2? Eso es lo que afirma el último teorema de Fermat. ¿Cómo demostrar que semejante declaración sea verdadera? «Yo he encontrado una prueba», dejó anotado en los márgenes de un libro el matemático francés, «pero este espacio en blanco es muy estrecho para desarrollarla.» Y durante trescientos años, los matemáticos de todos los países se empeñaron en vano en descubrirla. Wiles necesitó más de cien páginas.

De la poderosa mente de Fermat dan cuenta otras incursiones suyas en el campo de la teoría de números. Se ocupó de los números primos y de los números perfectos. Por número perfecto se entiende aquel entero que es suma de sus divisores. El primer número perfecto es el 6, puesto que 6 = 1 + 2 + 3, y 6 es divisible entre 1, 2 y 3. El siguiente es el 28. Pasamos luego al 496 y, después, al 8128. Hasta la fecha se han descubierto solo 47 números perfectos, el mayor de los cuales alcanza la astronómica cifra de 26 millones de dígitos. Todos los hallados son pares; para obtener un número perfecto impar, si existe, sería mayor que 10300. De momento, se trata de un problema irresuelto.

Todos estamos en batalla constante contra el rozamiento. Para mover un cuerpo que se halla en contacto con otro se ha de vencer el rozamiento. Guillaume Amontons fue otro científico francés del siglo XVII, que realizó un trabajo notable sobre la fricción. Con su reconocida habilidad mejoró barómetros y termómetros. La fricción evita que los atletas caigan y detiene nuestro automóvil al pisar el freno. Siempre que un sólido se mueve con respecto a otro con el que se halla en contacto interviene el rozamiento, que, en física, constituye un apartado de la disciplina conocida por tribología. De acuerdo con la primera ley del rozamiento, que lleva su nombre, Ff = mN, donde Ff designa la fuerza necesaria para vencer el rozamiento estático entre dos cuerpos, m es el coeficiente de rozamiento, y N, la fuerza de un cuerpo ejercida sobre otro. Se han medido y tabulado los coeficientes de rozamiento de todo tipo de materiales. La ecuación indica que la fuerza de rozamiento es directamente proporcional a la carga aplicada entre los dos cuerpos. Amontons descubrió una segunda ley, que establece que la fuerza de fricción entre dos cuerpos es independiente de la superficie de contacto entre ellos.

El cine y las novelas de ciencia ficción recurren a menudo a la ecuación de Drake, que señala el número de civilizaciones de la Vía Láctea con las que podríamos entablar comunicación, N. En forma: N = R* × fp × ne × fe × fi × fc × L. La interpretación de los símbolos es la siguiente: R* designa la tasa media de formación anual de estrellas en nuestra galaxia; fp, la fracción de esas estrellas que presentan planetas; ne, el promedio de planetas que pueden sustentar vida por estrella dotada de planetas; fe, la fracción de planetas que realmente alojan vida en algún punto; fi, la fracción de planetas sustentadores de vida que pueden desarrollar vida inteligente; fc, la fracción de civilizaciones que desarrollan una técnica capaz de emitir hacia el espacio signos detectables de su existencia; L, longitud del tiempo de emisión de tales señales. Se han creado numerosas variaciones en torno a la ecuación. Lleva el nombre de Frank Drake, astrónomo y astrofísico norteamericano que la dio a conocer en la primera reunión internacional, celebrada en 1960, sobre búsqueda de inteligencia extraterrestre. Él mismo calculó el valor de N, que, con los escasos datos de que disponía y numerosas suposiciones, cifró en 10.

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