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1 de Octubre de 2015
Teoría de la probabilidad

El problema de la bella durmiente

¿Cómo creer tras perder la noción del tiempo?

THINKSTOCKPHOTOS/SHIBANUK

Yo creo muchas cosas. Creo, por ejemplo, que mañana va a salir el sol. Creo también que mañana no va a nevar. Sin embargo, estoy mucho más seguro de que mañana saldrá el sol de que no nevará. Mi nivel de creencia en el primer enunciado es mayor que mi nivel de creencia en el segundo.

Uno de los supuestos fundamentales de la teoría de la decisión racional establece que los niveles de creencia satisfacen los axiomas de la teoría de la probabilidad. Es decir, que pueden medirse con números reales entre 0 y 1, y que:

• Si sabemos que E es un evento inevitable, nuestro nivel de creencia en E será 1.
• Si sabemos que E y F son eventos incompatibles, nuestro nivel de creencia en que uno de ellos ocurrirá vendrá dado por la suma de nuestros niveles de creencia en E y en F.

Si estamos seguros de que la probabilidad de que ocurra E es n, nuestro nivel de creencia en E será n. Y, en general, nuestro nivel de creencia en E será igual a nuestra estimación de la probabilidad de E.

Supongamos ahora que ayer lancé una moneda. El resultado fue cara o cruz, pero la verdad es que no lo recuerdo. ¿Cuál es la probabilidad de que cayese cara?

Hablar de probabilidades en este contexto resulta algo extraño, ya que, aunque la ignoremos, existe una respuesta correcta a la pregunta de si la moneda cayó cara o cruz (nótese el contraste con la misma pregunta si hablásemos de un lanzamiento que tendrá lugar mañana). Sin embargo, parece más que razonable asignar un nivel de creencia de 1/2 a la posibilidad de que la moneda cayese cara.

Otro supuesto de la teoría de la decisión racional nos dice que, si nuestro nivel de creencia viene dado por una función de probabilidad P, y si aprendemos que un evento cualquiera E ha ocurrido, nuestro nivel de creencia en un suceso arbitrario X habrá de ser igual a la probabilidad de X dado E; es decir, a P(X|E).

El experimento

Le han invitado a participar en un experimento y usted ha decidido aceptar. La prueba comenzará un domingo. Ese día habrá de trasladarse al laboratorio, donde permanecerá hasta el miércoles por la mañana. Al llegar, le proporcionan los detalles del experimento:

Bienvenido a nuestro laboratorio, y gracias de antemano por participar. Cuando lea esta carta serán las ocho de la tarde del domingo. A las nueve le daremos un potente somnífero que le hará dormir durante tres días seguidos, a menos que le despertemos antes. Dado que el experimento concluirá el martes, le despertaremos el miércoles por la mañana.

Durante esos tres días le despertaremos una o dos veces, dependiendo de cuál sea el resultado de una moneda que lanzaremos mientras duerme. Pase lo que pase le despertaremos brevemente el lunes. Después, si la moneda cae cara, le dejaremos dormir hasta el miércoles por la mañana. Si cae cruz, le despertaremos una vez más el martes. Pero no se preocupe: cada vez que le despertemos antes del miércoles le daremos otro somnífero para asegurarnos de que continúa durmiendo. Por desgracia, esta pastilla tiene un pequeño efecto secundario: cuando despierte, no recordará la vez anterior que le despertamos.

Disfrute su merecido descanso, y gracias de nuevo por su colaboración.

El lunes le despertarán sin decirle qué día es. ¿Cuál debería ser su nivel de creencia en que la moneda cayó —o caerá— cara?

¡Qué pregunta tan tonta!

Entendería si me dijese que la respuesta es evidente. El domingo sabía que el experimento se llevaría a cabo con una moneda corriente, por lo que la probabilidad de que esta cayese cara era igual a 1/2. Por ende, su nivel de creencia en el evento CARA era 1/2. Al despertarse el lunes no aprende nada nuevo (ya sabía de antemano que le iban a despertar por lo menos una vez), por lo que su nivel de creencia en el evento CARA debería ser el mismo: 1/2.

Nótese que no hemos dicho nada sobre cuándo tendrá lugar el lanzamiento de moneda. Los investigadores podrían lanzarla antes o después de despertarle el lunes por la mañana. Pero no ganamos mucho empeñándonos en una de las dos posibilidades. Para nuestros propósitos, podemos suponer que la moneda será lanzada el lunes por la tarde. Da igual. Puede comprobar que el problema que expondremos a continuación también aparece si la moneda se lanza antes de que le despierten por primera vez.

Cuando le despierten el lunes no sabrá si es lunes o martes, por lo que ignorará si la moneda ya ha sido lanzada. En cualquier caso, aprender que el lanzamiento de moneda ya tuvo lugar no debería afectar a su nivel de creencia en el evento CARA. Si quiere verlo así, imagine que se encuentra en una habitación con los ojos vendados y que le dicen que alguien va a lanzar una moneda. Su nivel de creencia en que la moneda caerá cara será igual a 1/2. Pasado el rato, le aseguran que la moneda ya ha sido lanzada. Al no haber visto el resultado, su nivel de creencia en que cayó cara también debería ser igual a 1/2.

Por otro lado...

Al despertarse el lunes por la mañana sabe que hay tres posibilidades compatibles con sus indicios:

• CARAL: Es lunes y la moneda caerá cara.

• CRUZL: Es lunes y la moneda caerá cruz.

• CRUZM: Es martes y la moneda cayó cruz.

La cuarta posibilidad (es martes y la moneda cayó cara) es incompatible con las condiciones del experimento.

Ahora bien, ninguna de esas tres posibilidades parece más o menos probable que otra, de modo que su nivel de creencia en cualquiera de ellas debería ser el mismo; a saber, 1/3. En particular, su nivel de creencia en CARAL debería ser 1/3.

Sin embargo, el evento CARA solo resulta compatible con la posibilidad de que sea lunes. De modo que sabe que CARAL es verdadero si y solo si CARA es verdadero. Y, en general, si sabemos que un evento cualquiera A es verdadero si y solo si B lo es, nuestro nivel de creencia en A tiene que ser el mismo que en B. (Esto último resulta interesante per se, pero puede comprobarse que se sigue del supuesto de que los niveles de creencia satisfacen los axiomas de la teoría de la probabilidad.) Por tanto, su nivel de creencia en CARA debería ser igual a su nivel de creencia en CARAL; es decir, 1/3.

La función de probabilidad

Algo falla: uno de los dos razonamientos anteriores ha de ser incorrecto. Consideremos la situación con un poco más de cuidado e intentemos localizar el error.

Llamemos P a la función de probabilidad que corresponde a sus niveles de creencia al despertarse el lunes. En ese momento sabe que el evento CARAL∨CRUZL∨CRUZM es inevitable. Además, los miembros de esta disyunción resultan incompatibles dos a dos, por lo que a partir de los axiomas de la teoría de la probabilidad tenemos que:

(1)    P(CARAL) + P(CRUZL) + P(CRUZM) = 1 .

Por otro lado, sabe también que si, de algún modo (no importa cómo), aprendiese que la moneda cayó o caerá cruz, su nivel de creencia en un evento E cualquiera tendría que venir dado por la probabilidad P(E|CRUZL∨CRUZM).

Pero, si aprendiese que la moneda cayó o caerá cruz, su nivel de creencia en cruzL y cruzM debería ser el mismo, ya que ambas posibilidades son simétricas. De modo que, sea cual sea la función de probabilidad P, esta ha de satisfacer la siguiente propiedad:

Fracción1.jpg

Ahora bien, si dos eventos A y B son incompatibles, y si P(A|AB) = P(B|AB), entonces P(A) = P(B). Para ver por qué, recordemos que, para dos eventos cualesquiera X e Y con P(Y) ≠ 0:

Fracción2.jpg

Así pues, si P(A|AB) = P(B|AB), tendremos que:

Fracción3.jpg

Y, dado que P(A) = P(A & (AB)) y P(B) = P(B & (AB)), tenemos que P(A) = P(B). De modo que podemos concluir que:

 (2)            P(CRUZL) = P(CRUZM) .

Llegados aquí merece la pena puntualizar lo siguiente: aunque es cierto que hemos partido del supuesto de que aprenderemos que la moneda cayó o caerá cruz, la conclusión (2) resulta independiente de dicha premisa. En otras palabras, hemos comenzado considerando las propiedades formales de una serie de probabilidades condicionadas del tipo P(E|CRUZL∨CRUZM) para, a partir de ellas, derivar algunas características intrínsecas de P(E).

Supongamos ahora que, cinco minutos después de despertarle el lunes, le dicen que es lunes. En ese momento, su nivel de creencia en CARAL debería ser el mismo que su nivel de creencia en que la moneda caerá cara. De igual modo, su nivel de creencia en CRUZL debería ser idéntico a su nivel de creencia en que la moneda caerá cruz. Pero, dado que ha aprendido que es lunes, sabe que la moneda no ha sido lanzada. Por tanto, su nivel de creencia en CARA y CRUZ debería ser 1/2. Así pues:

Fracción4.jpg

y

Fracción5.jpg

En consecuencia:

Fracción6.jpg

Empleando el mismo razonamiento que en el caso anterior, podemos concluir que:

 (3)             P(CARAL) = P(CRUZL).

Al igual que antes, (3) nos indica una propiedad intrínseca de nuestra función de probabilidad, una que resulta independiente del hecho de saber si es lunes o no.

Pero ahora se sigue de (1), (2) y (3) que su nivel de creencia en cada uno de los eventos CARAL, CRUZL y CRUZM ha de ser 1/3. Y, puesto que su nivel de creencia en CARAL al despertarse el lunes (recuerde, antes de que le digan qué día es) ha de ser igual a su nivel de creencia en CARA, hemos de concluir que su nivel de creencia en CARA ha de ser 1/3.

Lo que resulta sorprendente es que, el domingo, su nivel de creencia en CARA era 1/2. Al despertarse el lunes no ha aprendido nada nuevo (al menos, nada que parezca pertinente para evaluar el resultado de una moneda que será lanzada el lunes por la tarde). Sin embargo, disponemos de un argumento que nos indica que su nivel de creencia en CARA debería cambiar al despertarse el lunes.

¿Qué nos queda?

Recordemos que P corresponde a la función que representa sus niveles de creencia al despertarse el lunes por la mañana. Parece claro que si aceptamos que:

Fracción7.jpg

y

Fracción8.jpg

podemos establecer (2) y (3). Y, dado que (1) resulta indiscutible, tenemos un argumento impecable que sugiere que, al despertarse el lunes por la mañana, su nivel de creencia en CARA debería ser 1/3.

Así pues, parece imposible mantener que P(CARA) = 1/2 una vez dados (4) y (5). De manera que, si el argumento que nos llevó a concluir que P(CARA) = 1/2 es correcto, tiene que haber un error en el razonamiento en favor de (4) o en favor de (5). En caso contrario, tiene que haber un fallo en el razonamiento que nos llevó a concluir que P(CARA) = 1/2.

El problema que acabamos de plantear se conoce hoy con el nombre de «problema de la bella durmiente». Los investigadores están divididos sobre cuál es la respuesta correcta. Parece que la mayoría de quienes escriben sobre él defienden que la solución es P(CARA) = 1/3, aunque un número nada despreciable de autores sostienen que P(CARA) = 1/2. ¿Dónde está el error?

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