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1 de Octubre de 2015
Matemáticas

Una geometría aleatoria en la esfera

Los matemáticos han logrado construir un espacio en el que la distancia entre dos puntos cualesquiera es una cantidad aleatoria. El resultado, conocido como grafo browniano, abre las puertas a una nueva área de investigación.

GRAFOS Y SUPERFICIES ALEATORIAS: Al dibujar un grafo al azar sobre una esfera, esta quedará dividida en múltiples caras, o «baldosas». En el límite en el que su número se torna infinito se obtiene un grafo browniano: un objeto matemático universal en el que la distancia entre dos puntos es una cantidad aleatoria. [POUR LA SCIENCE, SEGÚN LOS AUTORES]

En síntesis

Inspirados en parte por cuestiones surgidas en el ámbito de la gravedad cuántica, los matemáticos han hallado una superficie en la que la distancia entre dos puntos es aleatoria.

El procedimiento consiste en considerar grafos aleatorios sobre la esfera. Cuando el tamaño de dichos grafos tiende a infinito, se obtiene un límite continuo y bien definido.

El resultado recibe el nombre de grafo browniano: un objeto universal, dotado de una geometría fractal compleja y cuyas propiedades los matemáticos apenas han comenzado a desentrañar.

No faltan situaciones en las que el azar interviene en la naturaleza geométrica de un problema. Así ocurre con el retículo que conforman los poros de un cuerpo permeable, con la red de conexiones a Internet o con la orientación de los momentos magnéticos atómicos en un imán, entre otros ejemplos. Para analizar tales fenómenos, los físicos emplean a menudo la estadística y la teoría de la probabilidad. A ello hay que sumar el trabajo de los matemáticos, quienes han estudiado tales cuestiones en virtud de su interés intrínseco.

Una línea de investigación al respecto, surgida en los años ochenta a raíz de algunos trabajos en física teórica, versa sobre las superficies aleatorias; es decir, superficies escogidas al azar. Pero ¿cómo se elige una superficie al azar? Existen varias maneras de responder con precisión a esta pregunta. Una de ellas consiste en definir una geometría aleatoria sobre la esfera a partir de los distintos grafos que pueden trazarse sobre ella. Hace poco, este enfoque ha sido objeto de interesantes y prometedores avances.

El procedimiento estriba en asociar a cada par de puntos de la esfera una cantidad escogida al azar, la cual identificaremos con la distancia que media entre dichos puntos. A pesar de ser aleatorias, tales cantidades no pueden ser completamente arbitrarias, ya que habrán de satisfacer una de las propiedades fundamentales de toda distancia: la desigualdad triangular. Esta dicta que, dados tres puntos A, B y C, la distancia AC deberá ser siempre inferior o igual a la suma de las distancias AB y BC.

La idea clave para construir distancias aleatorias consiste en partir de un número finito de puntos y, después, ir añadiendo más de forma indefinida. Imaginemos que nuestra esfera es un planeta sin océanos y repleto de ciudades conectadas por caminos. Para ser más precisos, supongamos que cada población se encuentra unida por medio de carreteras con un número pequeño de ciudades vecinas. Además, impondremos la condición de que dos caminos nunca se crucen, y también la de que haya carreteras suficientes para ir de cualquier ciudad a cualquier otra pasando por poblaciones intermedias (es decir, que no haya grupos de ciudades aislados por completo del resto). Por último, definiremos la distancia entre dos ciudades A y B como el número mínimo de etapas en un trayecto que las una.

En el límite en el que el número de ciudades se torna muy elevado y sus localizaciones cubren aproximadamente toda la esfera, llegaremos a una situación en la que podremos calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del globo. Además, dado que las distancias dependen de la disposición de las rutas, si estas últimas se escogen al azar, también las distancias tomarán valores aleatorios.

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