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La hipótesis de Riemann (II)

El teorema de los números primos.

Adrien-Marie Legendre en una caricatura de 1820. En 1798, el matemático francés publicó una de las primeras versiones de la conjetura de los números primos. [JULIEN-LÉOPOLD BOILLY/DOMINIO PÚBLICO]

Es evidente que los primos están
distribuidos de manera aleatoria;
pero, por desgracia, no sabemos qué
significa «aleatorio» en este caso.
—R. C. Vaughan


En la columna anterior vimos que los números primos, a pesar de su elementalidad, aparecen a lo largo de la sucesión de los números naturales de manera errática. En el artículo de este mes veremos algo que contrasta de manera sorprendente con lo anterior: que, para números muy altos, resulta posible predecir bastante bien la cantidad media de primos que van surgiendo en la sucesión de los naturales. Y lo que es más, la fórmula correspondiente resulta ser asombrosamente sencilla. Este hecho constituyó uno de los grandes misterios de la teoría de números y tiene una larga historia que se remonta a más de dos siglos atrás.

Comencemos hablando sobre la densidad de primos. La densidad de los números pares en el conjunto de los naturales tiende a 1/2 a medida que tomamos más y más números. Los matemáticos dicen entonces que la «densidad límite» de los múltiplos de 2 es 1/2. En general, la densidad límite de los múltiplos de un número natural n cualquiera será 1/n. Pero ¿cuál es la densidad de los números primos?

Resulta intuitivo entender que los primos se rarifican, que son cada vez más escasos a medida que avanzamos en los naturales. Esto se debe a que, para que un número sea primo, es necesario que ningún primo anterior lo divida. Por tanto, cuanto mayor sea un número natural, más condiciones tendremos que exigirle para que sea primo.

Para determinar la densidad límite de los primos podemos razonar de la siguiente manera. ¿Cuál es la densidad límite de los números que no son múltiplos de 2? Si la de los números pares es 1/2, la de los números impares será (1–1/2). ¿Y la densidad límite de los números que no son múltiplos de 2 ni de 3? Si suponemos independencia y obviamos las correlaciones que producen los números compuestos divisibles por 2 y por 3 a la vez, la respuesta es (1–1/2)(1–1/3).

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