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El conjunto de Cantor

Las sorprendentes propiedades del primer fractal de la historia.

Cada punto x del conjunto de Cantor queda determinado por un camino infinito en un árbol binario (rojo), donde en cada ramificación se toma el camino a derecha o izquierda de acuerdo con el intervalo (negro) al que pertenece x. Si representamos el camino como una tira de dígitos, donde 0 significa «izquierda» y 2 «derecha», obtenemos la representación de x en base 3. Si para cada punto x en notación ternaria cambiamos el dígito 2 por 1 e interpretamos el resultado en notación binaria, habremos creado una biyección entre los puntos de C y todos y cada uno de los puntos del intervalo [0, 1]. [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode]

Uno de los conjuntos más extraños y al mismo tiempo fáciles de analizar y construir es el conjunto de Cantor. Conocido desde hace casi un siglo y medio, sus propiedades guardan relación con la topología, el infinito y los fractales. ¿En qué consiste?

El conjunto de Cantor puede construirse como el límite de un proceso geométrico de infinitos pasos. Dividamos el segmento unidad [0,1] en tres intervalos idénticos, de longitud 1/3, y borremos el intervalo abierto central; es decir, el intervalo (1/3,2/3) . Después repitamos la operación para cada uno de los intervalos cerrados resultantes. Al hacerlo, obtendremos cuatro segmentos de longitud 1/9. Tras iterar el proceso n veces, acabaremos con 2n intervalos cerrados idénticos y de longitud 1/3n. En cada paso n, llamaremos In a la unión de todos los intervalos de los que disponemos.

El conjunto de Cantor se define, en el límite en el que n tiende a infinito, como la intersección de todos los conjuntos In definidos antes:

C = ∩n=1 In .


Es decir, como el conjunto de puntos supervivientes.

C toma su nombre del famoso matemático alemán Georg F. L. P. Cantor, quien en 1883 caracterizó sus extraordinarias propiedades. Con todo, su verdadero descubridor fue Henry John Stephen Smith, un profesor de geometría de Oxford que le dio vida en 1874 mediante una variante generalizada del procedimiento geométrico que acabamos de describir.

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