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1 de Julio de 2012
Matemáticas

La conjetura débil de Goldbach se acerca a una solución

Uno de los problemas matemáticos más antiguos aún sin resolver es la conjetura débil de Goldbach.

ECURED

Uno de los problemas matemáticos más antiguos aún sin resolver es la conjetura débil de Goldbach. Esta afirma que cualquier número impar mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres números primos. Por ejemplo:

35 = 19 + 13 + 3 o 77 = 53 + 13 + 11

Terence Tao, de la Universidad de California en Los Ángeles, ha conseguido acercarse a una solución: ha demostrado que es posible escribir cualquier número impar como suma de cinco primos, por lo que alberga esperanzas de poder reducirla a tres. Tao explica que, aparte de la satisfacción de descifrar un enigma que lleva desconcertando a los mejores matemáticos desde hace casi tres siglos, la demostración podría tener también aplicaciones para la encriptación de datos.

En el siglo XVIII, el matemático alemán Christian Goldbach enunció la conjetura «débil» que hoy lleva su nombre. Esta es pariente cercana de la versión «fuerte», bautizada así también en honor a Goldbach pero formulada en realidad por Leonhard Euler: que cada número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos. Como indica su nombre, la versión débil quedaría automáticamente demostrada en caso de establecerse la validez de la fuerte: en tal caso, para escribir un número impar como suma de tres números primos, bastaría con restar 3 y aplicar la versión fuerte al número par resultante.

La validez de ambas afirmaciones ha sido verificada por medios informáticos para todos los números de hasta 19 dígitos. Por el momento, no se conocen excepciones. Además, cuanto mayor es el número considerado, más posibilidades hay para expresarlo como la suma de dos o tres números. Por tanto, la probabilidad de que ambas conjeturas sean ciertas aumenta a medida que consideramos números mayores. De hecho, los matemáticos han demostrado que, si existieran excepciones a la conjetura fuerte, deberían aparecer con una frecuencia cada vez menor a medida que consideramos números más y más grandes. En cuanto a la versión débil, un teorema clásico de los años treinta del siglo pasado afirma que, en caso de haberlas, el número de excepciones a la conjetura habría de ser finito: en otras palabras, que la conjetura débil de Goldbach es siempre cierta para números «lo suficientemente grandes». Tao combinó los resultados informáticos válidos para números pequeños con los aplicables a números grandes. Al mejorar los cálculos anteriores con un gran número de pequeñas modificaciones, explica, demostró que podía llegar a solapar ambos intervalos de validez si se le permitía emplear cinco números primos.

Tao espera generalizar su método y demostrar que tres números primos bastan en todos los casos. Esto, sin embargo, probablemente no ayude a demostrar la conjetura fuerte. Sin duda, la demostración de la conjetura débil resultará más sencilla, reconoce Tao, ya que al descomponer un número en la suma de otros tres existen muchas más probabilidades de conseguir que todos sean primos. Dos siglos y medio después de la muerte de Goldbach, nadie ha logrado aún esbozar una estrategia para afrontar este gran desafío.

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