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1 de Septiembre de 2019
Matemáticas

Geometría tropical

Una incipiente área de las matemáticas permite entender desde una nueva perspectiva la geometría tradicional.

Las curvas tropicales pueden entenderse como un límite extremo de ciertas superficies que aparecen de manera natural en geometría algebraica. Esta imagen muestra la «ameba» (rojo) y la curva tropical (negro) asociadas al polinomio cúbico de dos variables
50x3 + 83x2y + 24xy2 + y3 + 392x2 + 414xy + 50y2 – 28x + 59y – 100. [OLEG ALEXANDROV Y ANTOINE CHAMBERT-LOIR]

En síntesis

Una de las ramas centrales de la matemática moderna es la geometría algebraica. Esta disciplina se dedica a estudiar aquellas curvas y superficies cuyos puntos corresponden a las soluciones de ecuaciones algebraicas.

En los últimos años, los matemáticos han comenzado a explorar una curiosa generalización: la que se obtiene al tomar una expresión algebraica y reemplazar la suma y el producto por otras dos operaciones más exóticas.

La disciplina resultante se conoce hoy como «geometría tropical». Además de revestir un interés intrínseco, su estudio ha permitido abordar desde una óptica completamente nueva numerosos problemas de geometría algebraica.

En matemáticas, para estudiar las propiedades de ciertos objetos, a menudo resulta conveniente considerar otros de naturaleza completamente distinta. Los ejemplos abundan. Uno de los más conocidos lo hallamos en los números complejos, los cuales se emplean con asiduidad para estudiar ecuaciones con coeficientes y variables reales. Es más, el uso de números complejos —ya sea en análisis, álgebra o geometría— es hoy tan universal que, sin ellos, las matemáticas actuales no existirían.

Una rama relativamente reciente de las matemáticas, la geometría tropical, puede verse de la misma manera. Este campo comenzó a emerger en los años ochenta del siglo pasado y se apoya en cierto tipo de álgebra empleada en varios contextos de la matemática discreta y la computación. Hoy constituye un área de investigación activa e interesante en sí misma, pero que al mismo tiempo resulta muy útil en otros dominios. Uno de ellos es la geometría algebraica, el estudio de aquellas curvas y formas geométricas que pueden definirse como el conjunto de puntos que resuelven ecuaciones polinómicas.

Los objetos que estudia la geometría tropical se denominan «curvas tropicales» (o, en general, variedades tropicales) y exhiben propiedades que en ocasiones son similares a aquellas que encontramos en geometría algebraica. Como resultado, el paso a través de la geometría tropical nos permite descubrir, calcular o demostrar, a veces de manera más sencilla, algunas propiedades de las curvas y superficies que aparecen en geometría algebraica. Un ejemplo nos lo proporciona la geometría enumerativa, la parte de la geometría algebraica centrada en contar puntos, curvas o superficies que verifican ciertas condiciones.

Puntos y curvas

Comencemos por el célebre postulado de Euclides que afirma que por dos puntos siempre pasa una recta y solo una. Ahora reemplacemos la recta por otro tipo de curva, como una circunferencia, y planteémonos las dos preguntas siguientes: ¿cuántos puntos del plano se necesitan para determinar de forma unívoca una circunferencia?, ¿cuántas circunferencias determinan n puntos? Observemos primero que por dos puntos A y B dados pasan una infinidad de circunferencias. Sin embargo, si consideramos un tercer punto C que no se halle alineado con los dos primeros, solo tendremos una circunferencia que pase por ellos: aquella que circunscribe al triángulo ABC.

La pregunta se torna algo más interesante si el tipo de curva considerada es una cónica. Como sugiere su nombre, estas curvas son las que se obtienen por la intersección de un cono y un plano. Pueden clasificarse en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas. Las elipses (de las que la circunferencia puede entenderse como un caso particular) son fundamentales en mecánica celeste, ya que corresponden a las trayectorias que describen los planetas alrededor del Sol. También las parábolas son frecuentes en nuestra vida cotidiana, ya que la sección de las antenas de satélite adopta dicha forma.

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