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1 de Septiembre de 2019
Sistemas dinámicos

Las constantes universales del caos

Una intrigante propiedad que aparece una y otra vez en todo tipo de sistemas dinámicos.

ESTE ÁRBOL DE FEIGENBAUM muestra los puntos fijos estables de la «función logística», f(x) = μx(1 – x), en función del parámetro μ. En este diagrama, las rectas μ1, μ2 y μ3 indican los tres primeros puntos de bifurcación Esa cascada de bifurcaciones, que en realidad es infinita, se sucede hasta el «punto de acumulación» μ∞, donde comienzan las órbitas caóticas (zonas sombreadas). La región caótica del diagrama se ve salpicada por zonas claras en las que vuelven a aparecer órbitas periódicas, como la de período tres señalada a lo largo de la recta μP. Al recorrer el diagrama de derecha a izquierda, se observa que también las zonas caóticas comienzan a sufrir bifurcaciones a partir de la recta situada en μB. Dicha cascada de bifurcaciones inversas converge asimismo en μ∞. [CORTESÍA DE BARTOLO LUQUE]

Tomemos una calculadora e introduzcamos un número entre 0 y 1 elegido al azar. ¿Qué ocurre si apretamos reiteradamente la tecla de elevar al cuadrado? A menos que hayamos comenzado con el número 1, acabaremos siempre en 0, con independencia del valor inicial que hayamos escogido.

Este simple ejercicio nos proporciona un ejemplo de sistema dinámico discreto. En este caso, se trata de uno determinado por la función iterada 

xn+1 = f(xn) = xn2 ,

donde el «tiempo» n es discreto y xn toma valores en el intervalo [0,1]. Partiendo de una condición inicial dada, x0, esta relación generará una secuencia x0, x1, x2..., también llamada «órbita» o «trayectoria». Si comenzamos con una condición inicial mayor que 0 y menor que 1, la órbita correspondiente se dirigirá rauda al 0. Decimos que el 0 es un punto fijo de nuestro sistema, ya que al introducirlo en la función no varía: 

f(0) = 0 . 

¿Existe algún otro punto fijo en el intervalo [0,1]? Para encontrarlo, basta con resolver la ecuación 

f(x) = x2 = x

cuyas únicas soluciones son 0 y 1. Vemos por tanto que 1 es también un punto fijo. Sin embargo, se trata de uno muy distinto del anterior: mientras que el 0 es un punto fijo atractor, o estable (la aplicación reiterada de la función f  hace que la órbita se acerque más y más a él), el 1 es repulsor, o inestable. Esto último quiere decir que solo lo alcanzaremos si lo tomamos como condición inicial.

En general, dada una función f(x) y un punto fijo x*, podemos determinar su estabilidad sumando a x* una pequeña cantidad, ε, y examinando qué ocurre al volver a introducirlo en la función. Si la perturbación se reabsorbe y nuestro sistema regresa hacia x*, nos encontraremos ante un punto fijo estable. En caso contrario, se tratará de uno inestable.

Todo esto puede analizarse muy fácilmente usando el desarrollo de Taylor a primer orden de f(x) alrededor del punto fijo: 

f(x*+ε) ≈ f(x*) + f'(x*)ε = x* + f'(x*)ε .

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