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Las matemáticas a vista de pájaro

La teoría de categorías, una disciplina surgida en los últimos 70 años, permite descubrir conexiones inesperadas entre distintas áreas de las matemáticas. Ha encontrado aplicaciones en física, informática y lingüística.

Las diferentes disciplinas matemáticas aparecen representadas en el mundo ficticio de «Matematistán». La teoría de categorías ocupa un lugar especial, ya que ofrece una visión global de las distintas áreas. [MARTIN KUPPE]

En síntesis

La teoría de categorías permite «planear» sobre las diversas ramas de las matemáticas, lo que revela conexiones inesperadas. Sin ella no existirían la geometría algebraica o la topología algebraica.

Ese cambio de perspectiva nos impide distinguir los detalles, por lo que la teoría de categorías no proporciona resultados explícitos, aunque puede mostrar nuevas maneras de resolver un problema concreto.

Cada vez hay más científicos de otras áreas, como físicos o lingüistas, que recurren a esta teoría abstracta para arrojar luz sobre los problemas de sus disciplinas.

Imagínese que sobrevuela un mundo llamado Matematistán. Más o menos en el centro divisa el conocido reino de la Aritmética, en el que los números se suman, multiplican, restan o dividen entre sí. Con él limitan las colinas de la Teoría de Números, con sus números primos y otras construcciones singulares, y más al sur se encuentra el enorme califato de al-Gebra, donde no solo se combinan los números (como en el reino de la Aritmética), sino también objetos más complicados como las matrices.

Desde lo alto, los detalles de cada región se desdibujan y solo son reconocibles las grandes estructuras, de modo que podemos identificar los puentes y zonas fronterizas que conectan los distintos reinos. Así, entre la tundra de la Topología y el califato de al-Gebra hallamos el bosque de la Topología Algebraica, donde se funden los conceptos de ambas áreas: por ejemplo, los habitantes de la tundra clasifican los objetos geométricos a partir del número de agujeros que presentan, y los topólogos algebraicos calculan dicho número usando construcciones algebraicas como las funciones o los grupos.

Muchos investigadores desearían tener esta visión panorámica de las distintas ramas de las matemáticas. Durante siglos, hubo polímatas versados en casi todas las áreas del saber, desde la filosofía hasta la física o la medicina, y que se servían de sus conocimientos en una especialidad para progresar en las otras. Hoy en día esto es impensable: es muy probable que un experto en teoría de números y otro en estadística tengan dificultades para entenderse, aun siendo ambos matemáticos.

Con todo, las distintas disciplinas matemáticas no son tan diferentes como podría parecer a primera vista, y los científicos encuentran continuamente semejanzas estructurales entre ellas. Por ejemplo, cuando un problema perteneciente al dominio del análisis (que se ocupa sobre todo de las funciones «suaves») se parece a una cuestión no resuelta de la teoría de números, es posible aplicar las herramientas de uno de los campos en el otro. Pero debemos estar dispuestos a abandonar el reino propio y adoptar una visión aérea, para no perdernos en los detalles de ninguna de las disciplinas. Y eso es justo lo que persigue la teoría de categorías.

«Siempre me han atraído esos momentos eureka en los que uno comprende que es posible unificar ideas aparentemente dispares», afirma Tai-Danae Bradley, matemática de la Universidad de la Ciudad de Nueva York. «Por eso fue muy emocionante descubrir una rama de las matemáticas que ayuda a pensar con claridad sobre estos conceptos transversales.»

No obstante, ese cambio de perspectiva también tiene desventajas. Quienes se dedican a la teoría de categorías se mueven en esferas tan elevadas que apenas producen resultados explícitos: nunca resolverán una ecuación diferencial o calcularán una integral. Pero pueden descubrir nuevos caminos que conduzcan a la solución de un problema concreto, aunque para calcularla haya que volver a poner los pies en la tierra y trabajar en la disciplina correspondiente.

Al principio, la teoría de categorías no tuvo muy buena acogida, y los matemáticos a menudo se referían a ella —con cierta sorna— como «sinsentido abstracto». Pero desde entonces su utilidad ha quedado demostrada fuera de toda duda, y muchos avances matemáticos de los últimos 70 años serían impensables sin la teoría de categorías. Aun así, los expertos siguen sin ponerse de acuerdo sobre si se trata de una teoría independiente o tan solo de un sistema conceptual útil para describir cuestiones complicadas de forma más sencilla.

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