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El problema del cuadrado inscrito en la curva

Una conjetura casi resuelta.

En 1911, el matemático alemán Otto Toeplitz propuso la siguiente conjetura: toda curva cerrada simple admite al menos un cuadrado inscrito en ella. Una curva cerrada simple es una curva continua, cerrada y que no se corta consigo misma. Por ejemplo, una elipse es una curva cerrada simple, pero una con forma de 8 no. Que sea continua quiere decir que puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel, y «cuadrado inscrito» significa que existen cuatro puntos pertenecientes a la curva que forman los vértices de un cuadrado. La figura A nos muestra un ejemplo.

El problema del cuadrado inscrito, conocido también como conjetura de Toeplitz, pertenece a esa clase de enunciados simples y ya centenarios que muchos matemáticos han intentado dilucidar sin éxito. Para ilustrar la cuestión, resolvamos un caso particular de curva simple cerrada: un triángulo T cualquiera en el plano. ¿Podemos encontrar siempre un cuadrado inscrito en él?

Dado un triángulo, siempre podemos inscribir en él dos rectángulos como los de la figura B. Uno de ellos, el azul, es más alto que ancho; el otro, el rojo, es más ancho que alto. Si ahora movemos el vértice P1 sobre el lado del triángulo hacia P2, al tiempo que movemos Q1 en dirección a Q2, el rectángulo rojo se irá haciendo más alto y menos ancho hasta convertirse en el azul. Si hemos pasado de manera continua de un rectángulo más ancho que alto a otro más alto que ancho, en algún momento nuestro rectángulo tuvo que ser igual de ancho que de alto; es decir, un cuadrado. Sorprendente.

Casos particulares

Observemos que en nuestra demostración no explicitamos ninguna solución concreta (por ejemplo, cómo determinar los vértices del cuadrado en función de los de T). Se trata de una típica demostración de existencia. Esta clase de demostraciones suelen desesperar a físicos e ingenieros, que pueden enviar la ecuación diferencial de un modelo a un amigo matemático con la esperanza de que la resuelva y recibir como respuesta: «La solución existe y es única». Los matemáticos, sin embargo, suelen encontrar tales demostraciones bellas e ingeniosas, diamantes que les permiten continuar sus investigaciones desembarazándose de la necesidad de hallar soluciones concretas.

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