Las series divergentes
son invención del diablo,
y cualquier demostración
basada en ellas resulta infame.
—Niels Henrik Abel (1802-1829)

Como lo prometido es deuda, este mes trataremos una desconcertante cuestión que presentamos en forma de meme matemático en nuestra última columna. Me refiero a la pregunta que da título a este artículo: ¿cuánto vale la suma

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ···

de todos los números naturales?

Si es la primera vez que se lo plantea, es muy probable que su respuesta no tarde en llegar y que afirme sin dudarlo que dicha suma no existe como tal o que es divergente. Y aunque en cierto sentido tendría razón, a continuación veremos que un análisis más sutil permite asignar a dicha suma un valor sorprendente: –1/12. ¿Cómo es posible que una suma de infinitos enteros positivos dé como resultado un valor finito, negativo y fraccionario?

El significado de estas series ha ocupado a los matemáticos desde hace tiempo, y su historia ilustra a la perfección cómo el infinito se presta a generalizar nociones que creíamos básicas y asentadas, como la de suma. Pero tal vez lo más fascinante sea que tales elucubraciones no se restringen al abstracto mundo de las matemáticas puras, sino que han encontrado aplicaciones en problemas físicos que pueden medirse en el laboratorio.

Series demoníacas

Para abrir boca, comencemos por considerar la suma infinita

S₁ = 1 – 1 + 1 – 1 +···,

estudiada en el siglo xvii por el monje matemático Luigi Guido Grandi. Observemos que podemos reagrupar los términos para reescribirla como

S₁ = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + ···) = 1 – S₁ ,

de donde podemos deducir inmediatamente que S₁ = 1/2.

Tomemos ahora la serie alternada de los números naturales:

S₂ = 1 – 2 + 3 – 4 +··· .

Al sumarla consigo misma, y añadiendo un cero a una de las series para trasladar una posición todos los sumandos, obtenemos la expresión

S₂ + S₂ = (1 – 2 + 3 – 4 +···) + (0 + 1 – 2 + 3 – 4 +···)

                                               =(1 + 0) + (–2 + 1) + (3 – 2) + (–4 + 3) +···

                                               =1 – 1 + 1 – 1 + ···  = 1/2 .

Por lo que, despejando, obtenemos que S₂ = 1/4. Finalmente, si restamos esta última a la serie S de los números naturales, tendremos

S – S₂ = (1 + 2 + 3 + 4 + ···) – (1 – 2 + 3 – 4 + ···)

                                                 = (1 + 2 + 3 + 4 + ···) + (–1 + 2 – 3 + 4 + ···)

                                                 = 0 + 4 + 0 + 8 + ···

                                                 = 4 · (1 + 2 + 3 + 4 + ···)

                                                 = 4S,

 

de donde deducimos que S – 1/4 = 4S y, por tanto,

S = –1/12.

Como decíamos al principio, este resultado es a todas luces absurdo: no solo hemos obtenido una cantidad finita, sino que, además, esta es fraccionaria y negativa. ¿Dónde está el error?