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Demostraciones visuales

Una imagen vale más que mil palabras (o no).

En matemáticas y en física resulta habitual toparse con series geométricas, aquellas en las que la razón entre términos sucesivos es constante. Coloreadas con las paradojas de Zenón, dichas series nos revelan cómo es posible que una suma de infinitos pasos finitos dé como resultado una cantidad finita. Este hecho, que suele demostrarse por métodos algebraicos, deja un recuerdo indeleble en los alumnos con sensibilidad matemática —­en el resto, el recuerdo también es indeleble, pero de otro tipo.

En mis clases de probabilidad suelo encontrarme con alguna serie geométrica, como la clásica 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .... Para calcular esta suma con un método alternativo a la demostración algebraica estándar, dibujo en la pizarra un sencillo y conocido diagrama (véase la figura).

Parto de un cuadrado de área 1. Lo divido por la mitad y cubro una de las partes, de área 1/2. Después cubro la mitad de la mitad restante, cuya área vale 1/4. Resulta obvio que, si siguiera así in saecula saeculorum, acabaría cubriendo el cuadrado en su totalidad. Por tanto, la suma de la serie ha de valer 1.
¿Puede extenderse este enfoque visual a otras series geométricas? ¿Cómo abordaría el lector, por ejemplo, la serie geométrica de razón 1/4; es decir, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...?

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