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  • Abril 2015Nº 463
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Napier

Invención de los logaritmos.

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JOHN NAPIER. LIFE, LOGARITHMS AND LEGACY
Por Julian Havil. Princeton University Press, Princeton, 2014.

Se entiende por logaritmo la potencia a la que debe elevarse un número, llamado base, para que dé otro número. Cualquier número y puede escribirse en la forma y = xn, donde n es el logaritmo en base x de y, es decir, n = logx y. Si la base es 10, tenemos logaritmos comunes. Logaritmos naturales, o neperianos, son en la base e = 2,71828...; se escribe logey o ln y. Los logaritmos se utilizaron como herramienta de cálculo antes que aparecieran las calculadoras electrónicas. Un logaritmo consta de dos partes: un entero y un decimal. El entero es la característica y el decimal es la mantisa. Así, el logaritmo en base 10 de 210 es 2,3222, donde 2 es la característica y 0,3222 es la mantisa.

Hasta la entrada en escena de John Napier, se fueron sucediendo diversas herramientas de cálculo: de la tableta de Salmis, en la Grecia clásica, a los cálculos romanos y el ábaco manual medieval. Desde la época de Regiomontano, en la segunda mitad del siglo XV, se habían venido construyendo tablas trigonométricas cada vez más refinadas; en particular, merced al método desarrollado entre 1505 y 1513 por Johannes Werner, que reducía la multiplicación y la división de grandes números a la adición y sustracción. Se avanzó también en las teorías de las proporciones y series, en el cálculo con potencias, lo que caracteriza el cálculo logarítmico. En particular, acababa de aparecer un mecanismo nuevo, muy elaborado, en la forma de Prosthaphaeresis, que emplea un par de identidades trigonométricas estándar para convertir la multiplicación en adición.

John Napier nació en Edimburgo en 1550, tres años después de perder los escoceses la batalla de Pinkie contra los ingleses. Murió en 1617. A los trece años entró en la Universidad de Saint Andrews, donde profesaba el teólogo reformista Christopher Goodman, quien le despertó el interés en el Apocalipsis de san Juan, donde veía él la prefiguración del mal en la Iglesia católica. Abandonó prematuramente la Universidad, para completar su formación en el continente, de acuerdo con lo acostumbrado en la nobleza acaudalada de su tiempo. Napier permaneció en Europa, con posible estancia en Francia, Alemania y Países Bajos, hasta 1571. Atraído por la teología y las máquinas de guerra (para reforzar la defensa de las islas británicas contra una invasión de Felipe II), estudió matemáticas por placer. Defendió las propiedades fertilizantes de las sales. Su profundización en raíces imaginarias le condujeron a desarrollar el principio del logaritmo. Pasó 20 años calculando tablas de logaritmos (en cuyo curso desarrolló también la notación decimal moderna).

A la muerte de su padre en 1608 se asentó en Merchiston al heredar el título nobiliario del lugar. Allí terminó su obra Mirifici logarithmorum canonis descriptio, que se publicó en 1614. Vivió y murió en un mundo agitado por convulsiones políticas y religiosas, en que coexistían sin hiato ciencia y superstición, justicia y brutalidad, religión e impiedad, vida y muerte violenta. De Napier se cuenta, sin embargo, que vivió como un eremita, entregado a sus pasiones intelectuales. A los 64 años regaló al mundo una herramienta de trabajo imprescindible para científicos y matemáticos a lo largo de más de tres siglos y medio. Las calculadoras electrónicas han acabado con las reglas de cálculo y las tablas de logaritmos en partes numéricas y partes trigonométricas.

Escrita en latín, la lengua académica del momento, la Descriptio constaba de 57 páginas de texto explicativo y 90 de tablas de números relacionados con los logaritmos naturales, repartido todo ello en dos libros. El libro primero, la teoría, comprendía cinco capítulos y cribaba las definiciones y reglas de operación de los logaritmos. Los seis capítulos del libro segundo estaban consagrados a diversos problemas de la trigonometría plana y esférica. Detallaba las instrucciones para su uso y ejemplos de manejo de las mismas. Ofrecía también un análisis de teoremas de trigonometría esférica (reglas de Napier de partes circulares). La noticia de la invención de los logaritmos llegó muy pronto a oídos de Henry Briggs, quien visitó a Napier en 1615. Agregaba en la Descriptio la promesa de publicar más tarde el método de su construcción. No vio la publicación en vida de su Mirifici logarithmorum canonis constructio (1619), donde expone de forma pormenorizada el método prometido. Constructio consta de 60 parágrafos. Lleva al lector desde materias hoy elementales, como la representación de la fracción decimal, hasta los procesos sutiles de construcción de la tabla de logaritmos incluida en la Descriptio. La concepción de los logaritmos va sutil e inextricablemente unida a la propiedad aditiva de los exponentes; su construcción, al uso de fracciones decimales.

Napier introdujo sin explicación el término logaritmo a partir del griego; su etimología es «número de la razón» (lógos arithmós). Se impuso la tarea de asignar a cada minuto de cada grado del cuadrante un número que en un comienzo llamó artificial y luego logaritmo, que permitía una manipulación fácil de los senos de los ángulos. Las tablas respondían a la necesidad de matemáticos y astrónomos de reducir los procedimientos tediosos aplicados a cálculos de funciones y ángulos. Por eso comenzaron con las tablas de senos y cosenos, con logaritmos en columnas suplementarias. Napier calculó los logaritmos de los valores de la función seno, no de los números naturales. Presentó una tabla trigonométrico-logarítmica en la que los ángulos vienen dados en intervalos de un minuto de arco. Para el «sinus totus» (sen 90o, o radio) escogió 107 y, por tanto, sus valores para senos se hallan entre 0 y 107. Su obra fue recibida con entusiasmo, pero la base que escogió no fue siempre la más conveniente, llevando a Briggs a calcular, en 1617, una tabla de logaritmos en base 10. Ese mismo año, Napier describió un sistema de barritas (el «ábaco de Napier»), diseñado para la práctica de la multiplicación y división.

En puridad, Napier no pensó en los logaritmos de una manera algebraica. Por la sencilla razón de que el álgebra no había adquirido todavía un grado de desarrollo aceptable. Él razonaba por analogía dinámica. Sean dos líneas AB de longitud fija y A'X de longitud infinita. Los puntos C y C'' comienzan moviéndose simultáneamente hacia la derecha, desde A y A', respectivamente, con la misma velocidad inicial, que es igual a la distancia CB. Napier definió A'C'' (= y) como el logaritmo de BC (= x).

Edward Wright y Briggs le propusieron la creación de logaritmos de base 10. Napier calculó los primeros mil números. Descubrió, además, importantes relaciones entre los elementos de los triángulos planos (teorema de Napier) y entre los elementos de los triángulos esféricos (analogías de Napier). Johannes Kepler, involucrado por entonces en el proceso tedioso de calcular las órbitas planetarias, fue en buena medida responsable de la introducción de logaritmos en el continente. Aportó valores más precisos para las series de Napier con la ayuda de proporciones sucesivas entre dos términos dados.

En 1593 publicó A plaine discovery of the whole revelation of St John, en la que buscaba ahondar en una interpretación numerológica de sus figuras simbólicas y de los tiempos mencionados en el Apocalipsis: los cuatro jinetes, la mujer vestida de púrpura y escarlata, el séptimo sello, el número de la bestia (666), el pozo sin fondo del abismo, Armagedón, año del principio y del fin del universo, etcétera. A lo largo del texto neotestamentario, las referencias a los intervalos temporales se dan en días, semanas y años. Un día profético es un año de calendario, una semana profética son siete años de calendario, un mes profético, treinta años calendáricos y un año profético 30 × 12 = 360 años calendáricos. Napier creía que el fin del mundo sería en 1688 o 1700. Aplicó un enfoque filosófico, una lógica basada en el silogismo aristotélico.

Pero Napier no entregó solo una herramienta poderosa a los científicos con la invención de los logaritmos. También aportó una ayuda valiosa a los que manejaban la aritmética elemental. Las varillas o «huesos» Napier facilitaban el cálculo seguro y rápido al mercader acostumbrado a un ábaco simple de cómputo. Lo expuso en su Rabdologia seu Numerationis per Virgulas Libro Duo, publicado en 1617.

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