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  • Investigación y Ciencia
  • Agosto 2014Nº 455
Libros

Reseña

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El programa de Langlands

Y su importancia para la física.

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LOVE AND MATH: THE HEART OF HIDDEN REALITY
Por Edward Frenkel. Basic Books; Nueva York, 2013.

«Profesor Weil: Como respuesta a su invitación para dar una charla, le adjunto la siguiente carta. Tras escribirla me he dado cuenta de que difícilmente contiene una sola afirmación de la que esté seguro. Si la lee como pura especulación le estaré agradecido; si no es así, estoy convencido de que tiene una papelera a mano.»

Con estas líneas comenzó el matemático Robert Langlands, en aquel entonces en su treintena, una carta al reconocido André Weil. Estaba llena de especulaciones para relacionar áreas de las matemáticas que hasta entonces se creían independientes. El documento se considera el origen de las conjeturas de Langlands. El libro que nos ocupa es un intento por parte del matemático Edward Frenkel de explicar, en términos accesibles para el no experto, en qué consiste el programa de Langlands y sus ramificaciones en geometría y física. El programa de Langlands corresponde a una red de conjeturas de las cuales algunas se han demostrado, mientras que otras siguen sin resolver. A día de hoy constituyen un área vasta y muy actual de investigación en matemáticas.

El objetivo del libro es muy ambicioso, ya que el autor pretende contarnos los avances que suceden en la frontera de la física matemática. En concreto, se cree que la red de conjeturas de Langlands en su versión geométrica tiene una relación profunda con unos resultados que los físicos conocen desde hace tiempo: que ciertas teorías cuánticas en apariencia distintas son equivalentes (suele decirse que son «duales»). El lector se embarcará en un viaje de apenas 250 páginas pero que le llevará por una diversidad de mundos. El recorrido empieza con una explicación del programa de Langlands en su versión clásica: una conexión entre la teoría de números (representaciones de ciertos grupos de Galois) y una generalización de las conocidas funciones trigonométricas (formas automórficas). Las ideas se explican con un caso particular como ejemplo, cuya motivación es nada más y nada menos que el famoso último teorema de Fermat.

El libro continúa mostrándonos el modo en que la función que desempeñan los grupos de Galois en las conjeturas de Langlands puede sustituirse por lo que se llama grupo fundamental de una superficie. De esta forma, las conjeturas de Langlands relacionan el análisis armónico (esa generalización de las funciones trigonométricas), no con la teoría de números, sino con la geometría de superficies. Es esta versión geométrica del programa de Langlands la que guarda una relación más directa con la teoría cuántica de campos y con la teoría de cuerdas.

Las teorías cuánticas describen las interacciones entre partículas; la teoría cuántica de las interacciones fuertes (cromodinámica cuántica) nos dice cómo interaccionan quarks y gluones para formar partículas compuestas como los protones y neutrones, que, a su vez, componen los núcleos atómicos. Distintas teorías describen las interacciones de partículas diferentes, pero a veces sucede que dos teorías en apariencia distintas son en realidad equivalentes. ¿Cómo es esto posible, si estas no hablan de las mismas partículas? La clave reside en que la interacción de partículas fundamentales de una de las teorías es equivalente a las interacciones entre partículas compuestas en la otra, y viceversa.

Normalmente decimos que las teorías son «duales». Estas dualidades resultan muy iluminadoras, porque aunque hay varios métodos para calcular las interacciones de partículas fundamentales, las interacciones de partículas compuestas son mucho más difíciles de determinar. Gracias a la dualidad podemos calcular esas propiedades con las herramientas válidas para las interacciones de las partículas fundamentales, solo que tenemos que hacer los cálculos en la teoría dual. El programa de Langlands parece cumplir una función a la hora de decidir cuál es la teoría dual de otra.

Como el lector comprobará, la red de conjeturas de Langlands toca casi todos los aspectos de las matemáticas. Desde la teoría de números o el cálculo a la geometría y la topología. De hecho, a veces se la conoce como la gran teoría unificada de las matemáticas. El que el libro quiera explicar las conexiones con la física teórica no facilita precisamente la tarea de la divulgación. Pero hay que admitir que el autor hace un trabajo excelente. Sin asumir ningún conocimiento técnico en particular, explica, con ejemplos muy bien elegidos, un concepto matemático tras otro: la aritmética modular, grupos de Galois y sus representaciones, curvas elípticas, números complejos, geometría riemanniana, etcétera. Permite hacerse una idea de qué son estos conceptos y para qué los usan los matemáticos. Además, incluye un buen surtido de notas adicionales que amplían la explicación con ejemplos concretos, sugieren lecturas adicionales o aclaran las afirmaciones más complejas del texto principal. Este anexo constituye una parte importante del libro; desde luego, el lector que quiera ahondar en algunos de los temas tratados las encontrará útiles. Sin embargo, es justo decir que algunas partes del libro, en especial los últimos capítulos, pueden resultar complicados para el lector que no esté familiarizado con las matemáticas.

Pero este libro es algo más que un libro sobre el programa de Langlands. Es una obra muy personal en la que el autor escribe sobre los distintos temas científicos usando su propia vida como hilo conductor. De esta forma, tiene también algo de autobiografía, una historia en la que Frenkel persigue su sueño de convertirse en matemático y hacer matemáticas, enfrentándose a todo tipo de dificultades. Muchos de los personajes que le ayudan a alcanzar sus metas son a su vez brillantes matemáticos, de los que puede que el lector haya oído hablar. La actitud de total compromiso con los sueños, muy alejada de las prosaicas metas y objetivos que llenan nuestro mundo de hoy, está presente en este libro en cada página y en cada personaje. Ello hace que si el lector se pierde en algún detalle técnico —como es posible que suceda—, el libro siga despertando interés y la lectura siga siendo entretenida. Es muy bonito leer una historia en la que esta forma de entender la vida triunfa.

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