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El problema de los tanques alemanes

Cuántos taxis hay en Barcelona y cuánta gente correrá la San Silvestre Vallecana.

WIKIMEDIA COMMONS/MAX ALEXANDER/PromoMadrid/CC BY SA 2.0

Las matemáticas desempeñaron un papel decisivo durante la Segunda Guerra Mundial. Quizás el caso más conocido, debido a su popularización en la literatura y en el cine, sea la participación de Alan Turing en el centro de criptografía británico de Bletchley Park para descifrar los códigos secretos nazis de las máquinas Enigma. Numerosos expertos consideran que, gracias a ello, la guerra se acortó unos dos años.

Una historia menos conocida tal vez sea que los Aliados usaron una sencilla fórmula estadística para estimar la producción alemana de armamento; en particular, la de sus temidos tanques. Aquel cálculo funcionó muchísimo mejor que las hipótesis de las fuentes de inteligencia, basadas en el recuento de tanques en el campo de batalla y en el espionaje de las fábricas germanas.

La siguiente tabla, extraída de un artículo de R. Ruggles y H. Brodie de 1947, muestra tres valores reales de producción mensual (conocidos después de la guerra), las estimaciones de los estadísticos y las de los servicios de inteligencia. Mientras que estos últimos concluyeron que, entre junio de 1940 y septiembre de 1942, los alemanes estaban fabricando una media de 1400 tanques al mes, los estadísticos dedujeron que ese número debía ser considerablemente menor: 246. Al finalizar la guerra se tuvo acceso al valor exacto, que resultó ser... ¡245!

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¿Cómo lograron los matemáticos acercarse tanto? En 1991, el coronel estadounidense Trevor Dupuy contaba la siguiente anécdota: «Hace pocos años, en Oriente Medio, obtuve permiso del Ejército israelí para visitar su línea de producción de tanques Merkava. En cierto momento pregunté cuántos habían producido, pero se me dijo que se trataba de información clasificada. Me pareció divertido, porque había un número de serie en el chasis de cada tanque». En efecto, los Aliados estimaron el número de tanques alemanes a partir de los números de serie de los vehículos nazis capturados o destruidos.

¡Taxi!

Pero ¿cómo deducir el número total de tanques a partir de una pequeña muestra de números de serie? Pere Grima, profesor de estadística de la Universidad Politécnica de Cataluña, nos propone en su libro La certeza absoluta y otras ficciones el siguiente experimento, de corte menos belicista.

En una ciudad como Barcelona, los taxis se encuentran numerados correlativamente por licencias que van de 1 a N. Dicho número figura en la puerta de cada vehículo y puede leerse a distancia con facilidad. Supongamos que deseamos estimar el número total de taxis, N, a partir de una muestra de n licencias observadas en la calle al azar. En jerga estadística, diremos que se trata de estimar el tamaño de una población a partir de una muestra aleatoria sin reposición. Para tomar valores numéricos concretos, supongamos que el número de taxis es N = 41 y que el tamaño de nuestra muestra asciende a n = 5 licencias. Imaginemos que, ordenadas de menor a mayor, estas resultan ser 8, 14, 22, 27 y 35. 

Si conociéramos la licencia m que ocupa la posición media exacta en la población de taxis, el número total de vehículos sería N =(m – 1) + 1 + (m–1) =2m– 1. En nuestro ejemplo, con una población de N = 41, m vale 21. Y, en efecto, N = 2 · 21 – 1 = 41. Pero en un experimento con taxis reales no podremos saber el valor de m. Sin embargo, parece razonable aproximar dicha cantidad a través de la mediana muestral, X, el dato de nuestra muestra ordenada que deja tantos valores a su izquierda como a su derecha.

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