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Las cicloides y el conjunto de Mandelbrot

No sólo coinciden con el camino de la luz en las cáusticas, sino que aparecen también en el objeto más conocido de la geometría fractal.
NORBERT TREITZ/Spektrum der Wissenschaft
Si una rueda dentada de radio r rueda por el exterior de otra, inmóvil, de radio R, cada uno de sus dientes (esto es, cada punto de su perímetro) describirá una curva que tendrá unas puntas características allá donde el diente toque la rueda estática. A esa curva se la llama epicicloide, porque el círculo en movimiento rueda "sobre" (en griego epi) el círculo inmóvil (kyklos, latinizado cyclus). En Curiosidades de la física de diciembre de 2008 ("La curva del corazón") contamos que una curva de este tipo puede también aparecer de una manera que no es mecánica: como cáustica ("curva focal") de un haz de luz que se refleja en el borde de un círculo. Conozcamos ahora otras propiedades sorprendentes de esas curvas.
La epicicloide tiene una pariente "introvertida": si la rueda inmóvil tiene los dientes orientados hacia dentro y en su interior rueda un engranaje dentado más pequeño, cada uno de los dientes de éste --a los que podemos imaginar con un lápiz sujeto-- describirá una hipocicloide (del griego hypo, abajo). Ya nos hemos encontrado con estas curvas: serían los caminos óptimos de los metros intraterráqueos (véase Curiosidades de la física, febrero de 2007).

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