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El juego del caos

Un sorprendente método para generar fractales con aplicaciones en la compresión de imágenes.

EL Triángulo de Sierpinski, así llamado en honor al matemático polaco Wacław Sierpinski (1882-1969). [Beojan Stanislaus, vía Wikimedia Commons (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode)]

Consideremos el siguiente procedimiento geométrico: dibujemos los vértices A, B y C de un triángulo y escojamos al azar un punto cualquiera de su interior; por ejemplo, el punto P0 de la figura 1a. Ahora, elijamos al azar uno de los tres vértices (en la figura 1b ha resultado ser A) y determinemos a partir de él un nuevo punto, P1, que se encontrará a medio camino entre P0 y A. Repitamos el proceso para P1, escogiendo de nuevo al azar un vértice del triángulo (esta vez ha sido B, como muestra la figura 1c) y dibujemos P2, el punto medio del segmento que une P1 y B.

Si continuamos indefinidamente, generaremos una sucesión de puntos P0, P1, P2, P3... ¿Puede imaginar qué patrón resultará al pintarlos?

Dado que hemos empezado con un punto arbitrario y hemos escogido aleatoriamente los vértices en cada iteración, tal vez estemos tentados a pensar que el resultado será una distribución aleatoria de puntos sobre el triángulo que, con el tiempo, acabará llenándolo. Pero esa respuesta es incorrecta. Como el lector puede comprobar si entra en cualquiera de las páginas interactivas del juego que puede encontrar en Internet, el resultado es uno de los fractales más conocidos: ¡el triángulo de Sierpinski! (véase la figura 2).

La iteración geométrica que hemos descrito es conocida como «juego del caos» y fue propuesta por el matemático británico Michael Barnsley en los años ochenta del siglo pasado como un método de generación de fractales a partir de los vértices de un polígono y un punto interior tomado al azar. Se trata de un sistema dinámico estocástico: a partir de un punto interior arbitrario, que actúa como condición inicial, las reglas del juego generan una sucesión de puntos, lo que en lenguaje matemático se conoce como una órbita. Con independencia de la condición inicial, la órbita acabará recorriendo todos los puntos del triángulo de Sierpinski, que actúa por tanto como «atractor» de la dinámica. ¿Cómo es posible?

Fractales ocultos
Para entenderlo, consideremos una variante del juego con dos participantes. El jugador 1 escoge un punto inicial del interior del triángulo. Supongamos que se trata del punto P2 de la figura 1c. Traza entonces un segmento que une dicho punto con el vértice más cercano (el segmento que une P2 y B en 1c) y encuentra el punto simétrico de B con respecto a P2. De esta manera llegará al punto P1.

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