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1 de Julio de 2011
Matemáticas

Descifrado un enigma de un siglo de antigüedad

Los expertos en teoría de números han descubierto por fin el sentido de una de las afirmaciones de S. Ramanujan más crípticas.

Photo Researchers, Inc.

Para tratarse de alguien que murió a los 32 años de edad, Srinivasa Ramanujan, matemático prácticamente autodidacta, dejó un legado impresionante. Ahora, los expertos en teoría de números han descubierto por fin el sentido de una de sus afirmaciones más crípticas, escrita un año antes de su muerte en 1920.

El asunto gira en torno a las particiones, un concepto sencillo solo en apariencia. La función de partición p(n) cuenta las maneras de expresar un número entero positivo n como suma de otros. Por ejemplo, para el número 5, existen siete opciones:

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 3 = 1 + 2 + 2 = 1 + 4 = 2 + 3.

Es decir, p(5)=7. Para el número 6 hay 11 posibilidades, por lo que p(6)=11. A medida que crece n, el número de particiones aumenta con gran rapidez. Por ejemplo, p(100)=190.569.292, y p(1000) es un número de 32 cifras.

Durante siglos, los matemáticos han intentado comprender las particiones, buscando, entre otras cosas, relaciones entre ellas. Ramanujan se percató de que, si comenzaba con el número 9 y le añadía múltiplos de 5, las particiones de los números resultantes eran divisibles entre 5: p(9)=30, p(9+5)=135, p(9+10)=490, p(9+15)=1575, etcétera. Propuso que algunas recurrencias de ese estilo debían mantenerse indefinidamente y que debían existir relaciones similares al considerar, en vez de múltiplos de 5, múltiplos de 7 y de 11, los dos números primos siguientes. Además, deberían darse relaciones análogas para las potencias de 5, 7 y 11. Así, habría una sucesión infinita de números n separados por intervalos de 53 tales que todas las p(n) correspondientes fuesen divisibles por 125. Después, como si de un oráculo se tratase, Ramanujan escribió que no deberían existir «propiedades simples» de esa clase para los números primos mayores. En otras palabras, conjeturaba la ausencia de secuencias de particiones p(n) tales que todas fuesen divisibles por 13, 17, 19, etcétera. Desde entonces, los matemáticos han buscado sin éxito patrones en los que intervengan esos números primos.

En enero, Ken Ono, de la Universidad Emory, y sus colaboradores hallaron fórmulas que relacionaban las funciones de partición de series de números n separados por intervalos de las potencias de 13 (13, 132, 133...), así como de los números primos superiores. Las fórmulas no resultan «simples», en el sentido de que las p(n) no son divisibles entre las potencias de 13; en cambio, revelan relaciones entre los restos de dichas divisiones. Para cada número primo, a medida que el exponente crece, las recurrencias que se obtienen recuerdan a las que aparecen en los fractales, estructuras geométricas con patrones característicos que se repiten a todas las escalas.

En otro resultado hecho público también en enero, Ono y un colaborador dieron con la primera fórmula para calcular directamente p(n) para cualquier n, un logro que hasta ahora había eludido los esfuerzos de los expertos en teoría de números.

¿Qué aplicaciones prácticas hallarán estos descubrimientos? George E. Andrews, de la Universidad estatal de Pennsylvania, lo encuentra difícil de predecir: «Los avances en matemáticas puras pueden tardar un tiempo en convertirse en aplicaciones prácticas».

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