La hipótesis de Riemann (III)

Un secreto escondido en el plano complejo.

 

Este artículo pertenece a la serie «La hipótesis de Riemann»

 

En nuestra última entrega vimos que era posible encontrar una expresión aproximada para determinar cuántos números primos hay por debajo de un número natural dado en el límite en el que dicho número es grande. Sin embargo, eso queda aún muy lejos del secreto que desde hace siglos obsesiona a los matemáticos: encontrar una fórmula explícita para la distribución de los números primos.

Quizás sorprenda al lector saber que se conocen muchas fórmulas exactas para la función contador de los números primos. En 1964, por ejemplo, Hugh C. Williams definió la función aritmética

donde n es un número natural y ⎣ ⎦ denota la parte entera. Esta función vale 1 cuando n es primo y 0 en caso contrario. A partir de ella, podemos encontrar una sencilla expresión para la función contador de los números primos:

¿Cómo es posible? En realidad, esta fórmula explícita no aporta nada que los matemáticos no supieran desde hacía mucho tiempo. Esconde el teorema de Wilson, un resultado conocido ya en el siglo XI por el matemático árabe Alhacén y que afirma que cualquier número natural n es primo si y solo si (n – 1)! + 1 es divisible por n.

Volvamos ahora a la expresión de F(n). La función coseno devuelve valores entre –1 y 1, de modo que su cuadrado lo hace entre 0 y 1. Así que la parte entera del coseno al cuadrado valdrá siempre 0 o 1. Y F(n) valdrá 1 solo cuando la expresión ((n – 1)! + 1)/n sea entera, algo que únicamente ocurre si n es primo. Dado que para computar π(n) de esta manera hemos de sumar todos los valores de F(j) desde j = 1 hasta n, en realidad tenemos que determinar número a número si es primo o no. Y esto ya se parece más al algoritmo de Euclides que a una fórmula explícita «sin trampa ni cartón».

Esta situación es extensible a todas las fórmulas conocidas que, como la de Williams, no son más que maneras ingeniosas de codificar en su interior los propios números primos. Para avanzar en la búsqueda de una verdadera función contador, los matemáticos introdujeron los métodos analíticos de variable compleja en la teoría de números. Para ver por qué, comencemos dando un pequeño rodeo que nos permitirá examinar la notable potencia de estos métodos.

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