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1 de Junio de 2018
Teoría de números

El problema de los náufragos, los cocos, los monos y las fracciones continuas

Ventajas insospechadas de una representación alternativa de los números racionales.

© MARALVAR/BULLET-CHAINED/ISTOCKPHOTO

Cinco náufragos en una isla han recolectado durante la jornada todos los cocos que han podido. Por la noche, uno de ellos se despierta con cierta paranoia y decide esconder la parte de los cocos que por justicia le correspondería. Procede a dividir el total de cocos en cinco montones iguales y comprueba que le sobra uno. Tras lanzar el fruto sobrante a los irritantes monos y esconder su parte, vuelve a dormirse. Algo después, un segundo náufrago se despierta con la misma idea. Vuelve a dividir los cocos que quedan en cinco montones idénticos y, de nuevo, ocurre que sobra uno. Como su antecesor, lo arroja a los simios.

Los demás náufragos hacen exactamente lo mismo y, en todos los casos, sobra siempre un coco que lanzan a los monos. A la mañana siguiente, los cinco, con caras inocentes, dividen en cinco montones los cocos que había dejado por la noche el último náufrago, sin que esta vez sobre ninguno. Encuentre, sin usar un ordenador, el menor número de cocos que recolectaron los náufragos para que esta historia sea posible.

Con un poco de paciencia y buena letra, es sencillo hallar una ecuación algebraica que nos indique la solución. Una forma de hacerlo sería la siguiente. Si llamamos x al número original de cocos recolectados, la cantidad que dejó el primer náufrago paranoico fue cuatro quintas partes de x – 1:

 4(x – 1)/5 = (4x – 4)/5.

 El segundo dejó cuatro quintas partes de la cantidad anterior menos uno:

 4[(4x – 4)/5 – 1]/5 = (16x – 36)/25.

Aplicando la misma regla, podremos ver que el tercero, el cuarto y el quinto náufrago dejaron, respectivamente,

(64x – 244)/125,

(256x – 1476)/625,

(1024x – 8404)/3125.

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