Utilizamos cookies propias y de terceros para mejorar nuestros servicios y facilitarte el uso de la web mediante el análisis de tus preferencias de navegación. También compartimos la información sobre el tráfico por nuestra web a los medios sociales y de publicidad con los que colaboramos. Si continúas navegando, consideramos que aceptas nuestra Política de cookies .

Demostrar la hipótesis del continuo

Se ha abierto una posible vía para resolver una cuestión que matemáticos y lógicos creían indecidible: si existe o no un infinito más grande que el de los números naturales y más pequeño que el de los números reales.

GETTY IMAGES/NNOROZOFF/ISTOCK

En síntesis

La teoría de conjuntos, base de las matemáticas, descansa sobre un sistema de axiomas denominado ZFC. Constituye una teoría de los infinitos, entre los que existe toda una jerarquía.

Según la hipótesis del continuo, no existe un infinito intermedio entre el de los números naturales y el de los números reales. En la teoría ZFC, esta suposición es indemostrable.

Los matemáticos buscan completar la teoría ZFC con axiomas razonables que permitan acabar con la indecidibilidad de la hipótesis del continuo, y recientemente han hallado una vía prometedora.

El concepto de infinito siempre ha sido fuente de grandes dificultades. Filósofos y teólogos han sostenido discusiones interminables (y bastante estériles) en torno a él, y los propios matemáticos no comenzaron a manejarlo de manera precisa y satisfactoria hasta el siglo XIX. En concreto, eran conscientes de que existían distintos tipos de infinito, pero no sabían cómo caracterizarlos o compararlos.

Se enfrentaban a lo que parecían absurdos. Por ejemplo, al multiplicar por 2 cada número natural, establecemos una correspondencia biunívoca (uno a uno), o biyección, entre los números naturales y los números naturales pares: 1  2, 2  4, 3  6, 4  8, 5  10, etc. De esta manera, a todo número natural n le corresponde un único natural par p = 2n; y a la inversa, a cualquier número natural par p le corresponde un único natural (par o impar) n = p/2. Esta correspondencia biunívoca sugiere que hay tantos números naturales pares como naturales pares e impares juntos, a pesar de que los últimos parezcan el doble de numerosos.

En la década de 1870, el matemático alemán Georg Cantor propuso emplear este concepto de la correspondencia uno a uno para comparar conjuntos formados por una infinidad de elementos. Este procedimiento no conduce a ninguna contradicción y permite definir un conjunto infinito como un conjunto que puede ponerse en biyección con un subconjunto (en sentido estricto) de sí mismo, una definición que podemos verificar fácilmente en nuestro ejemplo de los números naturales y los naturales pares.

A partir de ahí, Cantor construyó una teoría de conjuntos que constituye una teoría matemática sobre el infinito y que es la base sobre la que se desarrollan todas las matemáticas contemporáneas. La axiomatización de la teoría de conjuntos planteó algunas dificultades, pero en lo esencial acabaron siendo resueltas: desde principios del siglo XX, disponemos de un sistema de axiomas que hasta ahora no ha generado contradicciones en el trabajo de los matemáticos.

Pero podríamos decir que esta teoría axiomática de los conjuntos es un tanto endeble, porque deja sin respuesta cuestiones elementales como la llamada hipótesis del continuo, que explicaremos más adelante. El principal objetivo de quienes investigan hoy en este campo es perfeccionar la teoría para que responda mejor a estas cuestiones.

Responder preguntas sin respuesta

Durante el último decenio se han obtenido resultados muy interesantes en esta dirección, y uno de los principales artífices es Hugh Woodin, matemático de la Universidad Harvard. Woodin está convencido de que es posible solucionar el misterio de la hipótesis del continuo, es decir, que esta suposición puede ser verdadera o falsa, pero no «indecidible». Y esta idea lo llevó a proponer y desarrollar dos programas de investigación opuestos.

El primero de ellos pretendía establecer que la hipótesis del continuo es falsa, como creía Woodin hace quince años. Pero luego cambió de opinión e inició un segundo programa de investigación, articulado alrededor del concepto que denomina «último» y que, según él, conducirá a una solución satisfactoria y definitiva de los principales enigmas que plantea el infinito. En particular, a la demostración de que la hipótesis del continuo es cierta.

Puedes obtener el artículo en...

¿Tienes acceso?

También te puede interesar

Revistas relacionadas

Los boletines de Investigación y Ciencia

Elige qué contenidos quieres recibir.