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Henri Poincaré y Felix Klein

Una polémica matemática sobre nombres.

Jules Henri Poincaré. [Fuente: Dernières pensées. H. Poincaré. Ernest Flammarion, París, 1913]

Jules Henri Poincaré (1854-1912) y Felix Christian Klein (1849-1925) pertenecieron al selecto grupo de los matemáticos más importantes de la segunda mitad del siglo XIX y comienzos del XX. Se ha dicho que el siglo xix comenzó bajo la sombra de un gigante, Carl Friedrich Gauss, y terminó con el dominio de un genio de magnitud similar, Poinca­ré. En opinión de Jean Dieudonné, matemático notable, «ambos eran matemáticos universales en el sentido supremo, y ambos realizaron contribuciones importantes a la astronomía y la física matemática. Si los descubrimientos de Poincaré en la teoría de números no son iguales a los de Gauss, sus logros en la teoría de funciones son al menos del mismo nivel, incluso cuando uno tiene en cuenta la teoría de las funciones elípticas y modulares, que deben ser acreditadas a Gauss y que representan su descubrimiento más importante en ese campo, aunque no lo publicó en vida. Si Gauss fue el iniciador de la teoría de las variedades diferenciables, Poincaré desempeñó el mismo papel en la topología algebraica. Finalmente, Poincaré es la figura más importante en la teoría de las ecuaciones diferenciales y el matemático que, después de Newton, efectuó el trabajo más destacado en mecánica celeste».

Aunque no tan numerosas y variadas como las de Poincaré, las contribuciones de Klein fueron también importantes. Entre ellas figuran las que produjo en colaboración con el noruego Sophus Lie (1842-1899), con quien se encontró por primera vez en octubre de 1869 durante una reunión de la Asociación Matemática de Berlín. Aunque, al parecer, el encuentro fue fortuito, el 30 de octubre de 1869 Alfred Clebsch respondía desde Gotinga a una carta de Lie en la que le aconsejaba que se pusiera en contacto con Klein: «Ante todo, le recomiendo que vaya a visitar al doctor Klein, que se encuentra actualmente en Berlín (Carstrasse 11), y le presente mis mejores saludos. Encontrará en él a un hombre diligente y afable […] Se entenderá con él inmediatamente». Clebsh no se equivocaba. Un día después, Klein escribía a su madre informándola de que «entre los jóvenes matemáticos que he conocido, uno me impresiona fuertemente. Se trata de Lie, noruego, cuyo nombre ya conocía de un artículo que publicó en Christiania [hoy Oslo]. En particular, ambos nos hemos ocupado de las mismas cosas, de manera que no faltan temas de los que hablar. Pero no nos une únicamente el mismo amor; también nuestra crítica de la forma en que algunos matemáticos de aquí expresan su importancia a costa del trabajo realizado por otros, especialmente por extranjeros».

Aunque menos conocido que otros grandes matemáticos del siglo XIX, Lie forma parte de ese exclusivo grupo. Destacan sus trabajos sobre la teoría de transformaciones de grupos continuos, que introdujo en varias ramas de la matemática como la geometría o las ecuaciones diferenciales. Conceptos como «grupos de Lie» o «álgebras de Lie» son, desde hace mucho, instrumentos tan familiares como esenciales para el trabajo de matemáticos y físicos teóricos.

Para Klein, la relación que mantuvo con Lie fue muy importante. De hecho, uno de sus resultados más notables, el que presentó en la conferencia que pronunció al tomar posesión en 1872 de una cátedra en la Universidad de Erlangen (de ahí que sea denominado «programa de Erlangen»), encaja perfectamente con el enfoque de transformaciones del matemático noruego. Básicamente, la tesis de ese programa es que existen tantas geometrías como grupos de trasformación; que una geometría se caracteriza por sus invariantes (una perspectiva que le permitió argumentar más tarde que la teoría de la relatividad especial no era sino una geometría lorentziana, y la teoría general de la relatividad, la geometría del grupo de transformaciones generales).

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