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1 de Julio de 2003
Matemáticas

Ordenadores, paradojas y fundamentos de las matemáticas

Grandes pensadores del siglo XX han demostrado que la incompletitud y la aleatoriedad medran incluso en el mundo austero de la matemática.

b.n.f.

En síntesis

A principios del siglo xx, David Hilbert formuló el «problema de la decisión»: ¿es posible determinar, en un número finito de pasos, la veracidad o falsedad de cualquier enunciado lógico?

En 1931, Kurt Gödel demostró que el proyecto de Hilbert era irrealizable: ningún sistema axiomático coherente es capaz de probar o refutar todos los enunciados posibles de la aritmética.

La misma pregunta llevó a Alan Turing a considerar y definir la noción moderna de computabilidad. Sus resultados impusieron límites a la capacidad de cálculo y razonamiento matemáticos.

La noción de computabilidad ha permitido relacionar los conceptos matemáticos de aleatoriedad y complejidad algorítmica con los de probabilidad y entropía en las teorías físicas.

Todos saben que los ordenadores son aparatos muy prácticos. Tanto, que se han vuelto indispensables en el funcionamiento de una sociedad moderna. Pero hasta los informáticos han olvidado —exagero, pero sólo un poco— que fueron inventados para que ayudasen a aclarar una cuestión filosófica concerniente a los fundamentos de la matemática. ¿Sorprendente? Sí, en verdad.

Comienza esta asombrosa historia con David Hilbert, un célebre matemático alemán, que a principios del siglo XX propuso la formalización completa de todo el razonamiento matemático. Pero resultó que era imposible formalizar el razonamiento matemático, por lo que, en cierto sentido, su idea fue un tremendo fracaso. Mas, en otro sentido, tuvo un gran éxito, porque el formalismo ha sido uno de los grandes dones que nos ha hecho el siglo XX. No para el razonamiento o la deducción matemática, sino para la programación, para el cálculo, para la computación. Una pieza olvidada de la historia intelectual.

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