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1 de Noviembre de 2019
Cálculo difeerencial

Cálculos no newtonianos

Las curiosas consecuencias de generalizar la noción tradicional de derivada.

Isaac Newton (izquierda) y Gottfried Leibniz (derecha) concibieron el cálculo diferencial, una de las herramientas matemáticas más potentes de todos los tiempos. Su formalismo puede generalizarse modificando la noción de derivada. [WIKIMEDIA COMMONS/DOMINIO PÚBLICO]

Imagine que nos dicen que una población de 1000 individuos crece en un año hasta los 1200. Con solo esta información, podríamos suponer que nos encontramos ante una tasa de crecimiento aditiva de 200 individuos al año. En tal caso estaríamos barruntando como modelo de crecimiento la siguiente función lineal:

f(t) = 1000 + 200t

La derivada de esta función es

f'(t) = 200 , 

justamente la tasa aditiva de crecimiento. Nada extraño, puesto que, tal y como aprendemos en la secundaria, la derivada de una función nos da su tasa de cambio instantáneo (que en este sencillo caso resulta ser independiente de t).

Sin embargo, con la misma información podríamos haber interpretado que la población crece un 20 por ciento anual; es decir, a un ritmo geométrico que cada año multiplica la población por 1,2. En tal caso ya no estaríamos postulando un modelo de crecimiento lineal, sino exponencial:

g(t) = 1000·1,2t

con lo que la tasa de cambio instantáneo vendría dada por

g'(t) = 1000·log(1,2)·1,2t .

Aquí la derivada ya no es constante, sino que depende del tiempo t.

Tanto 200 como 1,2 son tasas de cambio, pero mientras que la primera es aditiva, la segunda es multiplicativa. ¿Podríamos definir una «derivada» de tal modo que, al aplicarla al modelo multiplicativo, arrojara 1,2 para todo t?

Como veremos, la respuesta es afirmativa y sorprendentemente sencilla. Este tipo de generalizaciones de la noción de derivada fueron estudiadas en los años sesenta del siglo pasado y proporcionan todo un abanico de «cálculos» alternativos al tradicional, el concebido en el siglo xvii por Newton y Leibniz. Además de proporcionar una estupenda herramienta didáctica en la enseñanza del cálculo, existen varias aplicaciones en las que estas variantes resultan más eficientes que su versión clásica.
 

Una nueva derivada

Denotemos con una estrella (*) nuestra nueva derivada. Para una función lineal,

f(t) = B + At ,

la derivada tradicional nos da

f'(t) = A

Ahora deseamos que para la función

g(t) = B·At 

nuestra «derivada*» valga

g*(t) = A .

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