Categorías infinitas

Los matemáticos han ampliado el que posiblemente fuese el concepto más general y abstracto de toda la disciplina.

Teoría de categorías. [ERIC PETERSEN]

En síntesis

A lo largo de la historia, el progreso matemático ha sido posible gracias a la generación de conceptos cada vez más amplios y abstractos, los cuales retienen las propiedades esenciales de los conceptos del nivel inferior.

En el siglo XX, esta manera de proceder dio lugar a la teoría de categorías, donde cada objeto matemático se define en virtud de sus relaciones con otros objetos. Este enfoque ha permitido demostrar todo tipo de resultados en diversas áreas.

Una nueva vuelta de tuerca a esta idea ha iniciado el campo de las categorías infinitas. Gracias a esta nueva disciplina, los investigadores han comenzado a desentrañar conexiones inesperadas entre complejos conceptos matemáticos.

Un fresco día de otoño en Nueva Inglaterra, durante mi tercer año de universidad, caminaba por delante de una boca de metro cuando un problema de matemáticas atrajo mi atención. Un hombre se encontraba junto a unos cuantos acertijos que había garabateado en la pared. Uno de ellos pedía construir, con una regla y un compás imaginarios, un cubo con el doble de volumen que otro cubo dado.

Me paré en seco. Ya había visto ese problema antes. De hecho, es un reto con más de dos milenios en el que intervino Platón, de acuerdo con Plutarco. Podemos usar una regla para extender un segmento en cualquier dirección y un compás para dibujar un círculo de cualquier radio desde el centro que elijamos. La clave de este rompecabezas es que cualquier punto o longitud que aparezca en el dibujo final debe estar presente desde el principio o poder construirse a partir de la información suministrada.

Para duplicar el volumen de un cubo, partimos de la longitud de sus lados. En este caso podemos considerar que es 1, porque es la única medida relevante. Para construir el cubo más grande, hay que hallar el modo de dibujar una de sus caras con la nueva longitud requerida, que es 3√2, sin más herramientas que la regla y el compás.

Se trata de un problema difícil. Durante más de dos mil años, nadie consiguió resolverlo. Por fin, en 1837, Pierre Laurent Wantzel explicó por qué nadie lo había logrado: según demostró, era imposible. Su prueba utilizó matemáticas avanzadas para la época y cuyas bases había sentado su contemporáneo francés Évariste Galois, quien murió a los 20 años en un duelo posiblemente relacionado con una desdichada relación amorosa. A mis 20 años, mis logros matemáticos eran mucho menos impresionantes, pero al menos entendía la prueba de Wantzel.

La idea es la siguiente: dado un punto como origen y una distancia de longitud1, es relativamente fácil usar la regla y el compás para construir todos los puntos de una recta numérica cuyas coordenadas sean los números racionales (ignorando, como acostumbran a hacer los matemáticos, la imposibilidad práctica de representar infinitos puntos en un tiempo finito).

Wantzel demostró que, si empleamos solo esas herramientas, cada nuevo punto que construyamos será una solución de una ecuación cuadrática del tipo ax2 +  bx + = 0, cuyos coeficientes a, b y c forman parte de los puntos previamente construidos. En cambio, el punto 3√2 es solución de la ecuación cúbica x3 – 2 = 0, y la teoría de Galois sobre las «extensiones de cuerpos» demuestra que nunca pueden obtenerse las raíces de un polinomio cúbico irreducible resolviendo ecuaciones cuadráticas; esencialmente, porque 3 no es divisible por ninguna potencia de 2.

Armada con esos hechos, no pude resistirme y me paré a hablar con el hombre de la calle. Como cabía esperar, mis esfuerzos por explicarle por qué sabía que su problema no tenía solución fueron en balde. Por el contrario, afirmó que mi educación había cerrado mi mente y lastrado mi creatividad. Al final, mi novia consiguió rescatarme de la discusión y seguimos nuestro camino.

Esta anécdota encierra una pregunta interesante: ¿cómo pude yo, una estudiante de tercer año de carrera aún bastante verde, aprender a manipular con soltura sistemas numéricos abstractos como los cuerpos de Galois en tan solo unas semanas? Ese material llegó al final de un curso repleto de grupos de simetría, anillos de polinomios y otros tesoros semejantes que habrían dejado boquiabiertos a gigantes de la talla de Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Leonhard Euler o Carl Friedrich Gauss. ¿Cómo logran los matemáticos enseñar en poco tiempo a cada nueva generación de estudiantes hallazgos que asombraron a los expertos de la generación anterior?

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