Pequeño “detour” británico... y III: de entropía, cálculos y mesas elevadas

09/01/2017 0 comentarios
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Oxford y Cambridge están relativamente cerca en distancia pero no en tiempo: no hay más forma de ir de un lado a otro que atravesar Londres. Por suerte. Porque estás obligado a pasar por dos de las estaciones más emblemáticas de la capital británica: Paddington y King's Cross. Si me acompaña en este último trayecto, querido lector, por el camino le explicaré cómo calcular la entropía. Pero lo advierto: ¡el viaje será largo!

     Llego a  la estación de "London Paddington". Me bajo del tren y busco la estatua de un pequeño oso, famoso gracias a una serie de cuentos de Michael Bond: el osito Paddington. El protagonista de esta saga parece ser que fue encontrado en la estación de la que toma su nombre. Colgado de su cuello había una nota en la que se podía leer "por favor cuiden de este osito". Tristemente, la inspiración de esta etiqueta le vino a Michael Bond de los cartelitos que colgaban de los niños con su nombre, cuando fueron evacuados de Londres durante la segunda guerra mundial.

 La estatua del osito Paddington en la estación de tren de la que toma el nombre. Esta estatua fue el primer viajero en atravesar el canal de la mancha en tren.

     Durante el viaje en tren repaso los artículos de nuestro grupo en los que habíamos calculado la entropía a partir de conceptos tomados de la teoría de la información. Para entender cómo lo hacemos, vamos a poner un ejemplo inspirado en este recorrido.

     Imaginemos que estamos caminando. Perdidos. En medio de la campiña inglesa. Encontramos entonces a un campesino y le preguntamos hacia dónde hemos de caminar para encontrar un pub. El hombre mira hacia un lado. Mira hacia el otro. Sopesa las opciones y nos responde: "hacia cualquier lado".

     Si bien es cierto que la respuesta probablemente sea correcta, es poco informativa. Si tuviéramos que escribirla en lenguaje matemático podríamos decir que cualquier dirección nueva que tomemos respecto a la que llevábamos es igual de probable. Codifiquemos ahora la nueva dirección como el ángulo que hemos de girar para poder encontrar un pub. Si representamos la probabilidad en función del ángulo, basándonos en la información del irónico lugareño, obtendremos algo así:

Función de probabilidad que describe la pusilanimidad absoluta... Todo da igual. Todo es equiprobable.

     Si en cambio el labriego nos indica  que sigamos recto en esta dirección la cosa cambia. A no ser que no queramos llegar al pub, sólo existirá una única dirección que deberemos seguir que nos permitirá conseguir la preciada pinta de cerveza. Y la podemos expresar con la siguiente gráfica:

Función de probabilidad con un alto contenido de información. Básicamente nos indica que hemos de dar la vuelta para encontar el pub.

     Estas gráficas son funciones de densidad de probabilidad. Fijémonos en que la primera no contiene información y en cambio la segunda muestra la dirección que hemos de tomar. Nos indica, de hecho, que hemos de dar la vuelta. Si comparamos la forma de ambas vemos que la segunda es más "picuda" que la primera. Esto, de hecho, es una norma general: cuanto más picudas sea una gráfica que exprese probabilidad, más información contiene. Pues bien, la teoría de la información nos dice que podemos medir la "picucidad" y por tanto el contenido de información, de la siguiente forma H = -sum(Pi·ln Pi); donde Pi es cada una de las probabilidades de girar un cierto ángulo.

     Hago transbordo y llego a la estación de King's Cross. Busco por todos los lados. Ha de estar en algún sitio. Y una cola delata el lugar: la plataforma 9 y tres cuartos. Y ¡Sí!, me encantan las películas de Harry Potter. En esta estación se embarcó el aprendiz de mago rumbo a Hogwarts, y en su honor hay un carro incrustado en una pared con el que te puedes hacer una foto. Jaula de Hedwig, la lechuza, incluida. Yo me embarco rumbo a Cambridge desde esta estación. Lo que no sabía entonces es que en Cambridge viviría una escena muy parecida a la de la película. Aunque antes hay que seguir con el cálculo de la entropía.

La plataforma 9 3/4 de King's Cross. Si puedes aguantar la cola consigues una foto atravesando la pared.

     Imaginemos que estamos cómodamente sentados en una molécula de Indol. A nuestro alrededor vemos danzar moléculas de agua (véase la entrada anterior, PDBII). En algunos lugares  encontramos una acumulación de moléculas: son los sitios hidrófilos del Indol. En otras regiones en cambio hallamos "agujeros" de los que el agua "huye": son los sitios hidrófobos.

     Dibujemos ahora un mapa que nos indique las acumulaciones de agua... Como una especie de "mapa mundi" donde las partes hidrófilas serían los océanos y las hidrófobas los continentes. Estos mapas nos dirán dónde está el agua a una cierta distancia del Indol. Podemos ver un ejemplo en esta figura, en donde muestro a la izquierda el lugar donde se acumula el agua, y a la derecha el mapa que resulta de esta acumulación.

A la izquierda: lugares donde se acumula el agua alrededor del Indole. A la derecha: el mapa que obtenemos de esta  posición preferente del agua.

     Si además queremos saber cómo se colocan mutuamente las dos moléculas, la cosa aún tiene más mala pinta. Necesitamos entonces tres ángulos para describir su orientación: los ángulos de Euler. En la siguiente figura se puede ver una función de probabilididad en tres dimensiones que indica la orientación de una molécula respecto a otra. Incomprensible. Lo sé. En cualquier caso, en estos dos mapas -de posición en 2D y de orientación en 3D- tenemos toda la información que nos permite reconstruir la hidratación de la molécula de Indol... y esto para cada distancia. Bueno, la información "está allí" pero hemos de encontrar una forma de simplificarla... y aquí entra en juego nuestro cálculo de entropía.

Función de probabilidad que nos indica la orientación de una molécula respecto a otra... aunque no lo parezca.

     Sin entrar en detalles muy técnicos, parece evidente que si una molécula de agua puede estar "en cualquier parte" alrededor del Indol, el mapa que nos indica la probabilidad de que esté en una determinada posición será básicamente un mapa de color grisáceo: apuntemos donde apuntemos encontraremos la misma probabilidad. En cambio, un mapa lleno de manchas de las más variadas formas nos indicará que el agua se estructura alrededor de la molécula. ¿Sería posible calcular un número que nos indique el "desorden" que refleja el mapa de posición del agua? La respuesta es sí, y este número -ya lo habréis adivinado- es la entropía. La única diferencia es que las funciones de probabilidad en el ejemplo del labriego eran en una dimensión, y ahora son en dos y tres dimensiones. Pero el cálculo es exactamente el mismo.

     Por la noche me encuentro con David Huggins, otro entusiasta de la entropía. Con él quiero discutir detalles técnicos de sus cálculos. Me recomienda llevar traje y corbata a la cena -¡glups!. Quedamos en la entrada del "Pemborke College" del que forma parte y grande es mi sorpresa al ver que no vamos fuera, sino dentro del college... Entonces empiezo a sospechar que voy a tener el honor de asistir a una "high table".

El 'Pembroke College' donde pasé la última noche de mi viaje.

 

     Recapitulemos. Por un lado tenemos una serie de mapas, para distancias cada vez más alejadas de una molécula como por ejemplo el Indol. Por otro lado, sabemos cuantificar el desorden contenido en esos mapas. Es de esperar que la estructura del agua se vea afectada cerca del Indol debido a las interacciones entre ambos. Pero al alejarse estas interacciones serán cada vez más débiles, hasta que se difuminarán. Entonces la estructura que forme el agua ya no vendrá impuesta por su interacción con el Indol.

     Lo más importante es que podemos cuantificar el orden del agua en función de la distancia a una molécula particular. Sea ésta un aminoácido, un medicamento o una droga. Esto es importante para poder calcular, por ejemplo, a qué distancia un medicamento podrá "detectar" la presencia de una proteína transmembrana. La proteína modificará la estructura del agua y esta deformación podrá ser sentida por un medicamento. 

     La razón de mi visita a Cambridge es precisamente conocer a David Huggins, quien nos inspiró para hacer nuestros cálculos de entropía, y quien parece ser que tiene un nuevo método, basado en contar vecinos... del que ya hablaremos en otro momento.

 Aspecto de una 'high table'... yo no hice fotos para no parecer un turista al uso.

     Me dirijo con este colega hacia el comedor del "Pembroke college", y mis temores y esperanzas se hacen realidad. Esperamos en una sala anexa al comedor cuando, de pronto, suena un gong y se abre una portezuela. Accedemos por ella al comedor en procesión. Uno detrás de otro. Nos dirigimos a una tarima en la que hay una mesa preparada para un banquete. Perpendicular a nuestra mesa, y a un nivel más bajo, se encuentran las mesas llenas de estudiantes, de pie, en frente de la mesa. En silencio. David Huggins lee un texto en latín y nos sentamos todos, estudiantes y académicos, y se rompe el silencio. Entonces empiezan a servir la mesa... y entiendo en qué se inspiró la escena del banquete de Harry Poter. Estoy participando en una "high table" típica de los "colleges" ingleses, y para mí es un honor que le agradezco a mi anfitrión. Al finalizar nos retiramos a una habitación anexa donde nos sirven vino dulce, queso y fruta. Y seguimos charlando mientras, fuera, la entropía del universo aumenta desbocada.

 

Foto de la "high table": www.electricscotland.com

 

Addendum:

     No me gusta usar palabras de otros idiomas en mis textos, aunque quede muy "cool". Como se advierte en el título con la palabra "detour" he roto mis propias normas. Pero todo es por una buena razón. De camino a la estación de Oxford se me ocurrió el título que contiene una pequeña broma "freak". 

     Las iniciales de Pequeño Detour Británico son PDB. Un tipo de ficheros que usamos para guardar las coordenadas de las moléculas sale del Protein Data Bank... ya advertí que la broma era "freak" y no tenía gracia. Y si te hace gracia la broma, querido lector, te animo a leer los trabajos en que mostramos el método que explico en esta entrada. Por cierto, el programa que hemos desarrolado para calcular la entropía se llama ANGULA y se puede descargar de la red. Es gratis.