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  • Junio 2016Nº 477
Juegos matemáticos

teoría de conjuntos

Juegos infinitos

Una sencilla generalización de la teoría de juegos que permite hacer contacto con algunos de los principales problemas abiertos en teoría de conjuntos.

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Imagine que se encuentra frente a un tablero de ajedrez, al otro lado del cual se sienta un gran maestro. Le permiten escoger blancas o negras y le aseguran que, en caso de tablas, usted será declarado ganador. ¿Cómo proceder?

Imagino que dependerá de lo bien que juegue. Pero, si su nivel es similar al mío —bastante bajo, le confieso—, reconocerá de inmediato que no importará qué color elija. Juegue con blancas o negras, lo más probable es que pierda la partida.

Sin embargo, no tendría por qué suceder así. Sabemos que, ya sea para las blancas o para las negras, existe una estrategia ganadora: una manera de jugar que garantiza la victoria sin importar qué haga el oponente (recuerde que hemos estipulado que, en caso de tablas, usted será declarado vencedor). Por desgracia —o por suerte, al menos para quienes disfrutan con el ajedrez—, nadie conoce dicha estrategia. Peor aún: ni siquiera sabemos si puede ejecutarse con las blancas o con las negras.

Por supuesto, el ajedrez no es el único juego con esta propiedad. En cada juego con dos participantes en el que no haya azar, en el que ambos jugadores tengan acceso a la historia completa del juego antes de su turno, y en el que el número de jugadas sea finito, uno de los dos contrincantes tiene una estrategia ganadora. (En caso de que las reglas iniciales permitan un empate, añadiremos la cláusula de que quien empiece será declarado ganador.) Ahora bien, ¿qué sucede si consideramos juegos infinitos; es decir, juegos con un número infinito de turnos?

Un caso sencillo
Para entender a qué nos referimos con un juego infinito, consideremos el siguiente caso. En primer lugar, fijemos un conjunto S de secuencias infinitas de ceros y unos; por ejemplo, el conjunto de todas las secuencias que contienen un número infinito de ceros. Dado S, podemos definir un juego J(S) para dos jugadores, a quienes llamaremos Andrés y Bernardo, del modo siguiente. Por turnos, empezando con Andrés, cada uno de ellos escogerá 0 o 1. De esta manera, tras repetir el proceso infinitas veces, la «partida» habrá generado una secuencia infinita p de ceros y unos. Andrés ganará si consigue que la secuencia generada pertenezca a S; es decir, si pS. En caso contrario (si pS), vencerá Bernardo.

Dado un juego J(S) de este tipo, una estrategia para Andrés es una función que asigna 0 o 1 a cada secuencia finita de ceros y unos de longitud par (para incluir el primer turno de Andrés, determinaremos que la secuencia vacía es también una de longitud par). Por ejemplo, la función que asigna 0 a todas las secuencias finitas de longitud par constituye una estrategia para Andrés. En general, una estrategia para Andrés le dirá cómo jugar en su turno ­n-ésimo en función de lo que haya sucedido hasta entonces en el juego.

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