Los límites del crecimiento

02/09/2014 0 comentarios
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La forma más sencilla de poner límites al crecimiento exponencial en un modelo de población nos va a llevar al conocido como mapa logístico, lleno de conceptos matemáticos interesantes: caos, atractores, bifurcaciones, universalidad, etc... 

"El que crea que el crecimiento ilimitado es posible en un mundo de recursos finitos es un loco o un economista" --Kenneth Ewart Boulding--

Un sencillo modelo de poblaciones

Cualquier ser vivo tiende a reproducirse siguiendo una progresión geométrica: si cada individuo tiene de media x descendientes, en cada generación la cantidad de individuos se multiplica por un factor constante. Por ejemplo si cada pareja tiene de media 4 descendientes, es decir dos por cada individuo de la pareja, e inicialmente hay 10 individuos, una generación más tarde tendremos 30 (los 10 de antes, más los 20 que han nacido), una generación más tarde 90, una generación más tarde 270, etc... Es el prototipo de crecimiento exponencial. Si llamamos x0 a la población inicial, podemos calcular la población en la generación enésima (xn) a partir de la relación de recurrencia

xn = r xn-1

Donde r es la tasa de natalidad más 1: cuantos individuos nacen por cada individuo que existe (2 en el caso del ejemplo anterior), más el que estaba antes. Esta sencilla fórmula nos dice que de una generación a la siguiente la población se multiplica por r (3 en nuestro ejemplo).

Obviamente este no es un modelo de población muy sensato: los individuos tienden a reproducirse sin ningún límite y además ¡viven para siempre! Sin embargo es un buen ejercicio para empezar. Cuando programamos este modelo (exponencial.py) y lo ejecutamos tenemos gráficas como la de la derecha. Todas son bastante similares: un crecimiento exponencial de la población.

Digamos que los recursos pueden sustentar una determinada población máxima (ejemplo: pescando podemos alimentar como máximo a 1.000.000 de personas por generación). Resulta cómodo expresar la cantidad de población en términos relativos a este número máximo. De esta forma todos los valores de la población xn están entre 0 y 1. Cuando la población inicial es x0 = 0,5, lo que queremos decir es que la población inicial es el 50 % de lo que el entorno puede sustentar. En la práctica puede resultar muy complicado calcular este número, ya que en una situación realista depende de muchos factores que están relacionados entre sí, pero obviamente cualquier entorno, por grande que sea tiene recursos limitados y por lo tanto siempre existe esta población máxima. Cuando la población supere este límite tenemos que parar nuestra simulación: no hay recursos para todos y hay que buscar un modelo más realista.

Lo primero que vamos a incorporar en nuestro modelo es la mortalidad. Una forma sencilla de tener en cuenta la mortalidad es simplemente decir que en cada generación muere una parte de la población que llamaremos tasa de mortalidad m (por ejemplo, si en cada generación mueren un 5 % de los individuos m = 0,05). Es sencillo darse cuenta de que esta forma de mortalidad simplemente cambia el valor de la tasa de crecimiento, que en vez de ser r pasa a ser r-m. De esta forma la tasa de mortalidad simplemente se combina con la tasa de natalidad para producir una tasa de reproducción total.

El comportamiento de este modelo es muy básico: si la tasa de crecimiento total es mayor que 1 (r > 1), el número de individuos crece hasta que supera la capacidad máxima que el entorno puede sustentar. En cambio si la tasa de crecimiento total es menor que 1 (cuando la mortalidad es mayor que la natalidad), la población acaba extinguiendose.

A pesar de lo sencillo y obvio de este modelo, se pueden aprender algunas cosas. El crecimiento exponencial es sorprendente y muy poco intuitivo. Imaginemos que empezamos con una población inicial muy pequeña: x0 = 0,0000001, y usamos como tasa de natalidad 1,0, y como mortalidad 0,5 (por lo tanto r = 1,0 + 1,0 - 0,5 = 1,5). (Este es el ejemplo de la figura que hemos visto antes). ¿Cuándo deben los individuos preocuparse por la cantidad de recursos que están consumiendo? Veamos lo que dice nuestra simulación. La población avanza lentamente, y en 20 generaciones la población es de solo 0,00033, así que les quedan el 99,99966 % de los recursos sin explotar. En otras 10 generaciones la población crece hasta alcanzar el valor 0,019. Nada de lo que preocuparse, Al fin y al cabo han vivido 30 generaciones y sólo "gastan" un 2 % de los recursos. La hora de preocuparse ya llegará, siendo muy prudentes cuando queden la mitad de los recursos o algo así...

Desafortunadamente tan sólo 8 generaciones más tarde ya han pasado de consumir sólo el 2 % de los recursos a casi la mitad (un 49 %), y tan sólo dos generaciones más tarde consumen la otra mitad que queda. Sí, el ejemplo da un poco de miedo...

Recursos limitados

Sería ideal que nuestro modelo incorporase de forma automática que cuando la población está cerca del límite que puede sustentar el entorno, los individuos tienen dificultades para seguir reproduciéndose al mismo ritmo. Es decir, necesitamos que la tasa total de reproducción dependa a su vez del valor de la población. Probablemente la forma más sencilla de incluir este resultado en nuestro modelo sea sustituir r por r(1-x). En otras palabras, cuando x (la población) es pequeña, r se multiplica por un número muy cercano a 1 (es decir que casi no se altera), y el modelo modificado es muy parecido al anterior. Pero cuando el valor de la población está cerca del valor x = 1 el valor "efectivo" de r disminuye (ya que lo multiplicamos por (1 - x), que es pequeño). Ahora son las ecuaciones de nuestro modelo son

xn = r (1-xn-1)xn-1

y nos dicen cómo varía la población de una generación a la siguiente.

Veamos lo que nuestro modelo mejorado nos dice del caso anterior: el programa (generaciones.py) implementa nuestro nuevo modelo de población.

Como podemos ver en la gráfica de la derecha obtenemos el efecto deseado. Al principio la población crece de forma exponencial, muy parecido a como lo hacía antes, pero cuando los recursos empiezan a escasear la tasa total de reproducción efectiva decrece. Finalmente la población llega a un armonioso equilibrio con el entorno: la población se estabiliza en un valor tal que los recursos se consumen exactamente al ritmo que el entorno permite. Si la población se desvía un poco de este valor óptimo, tanto para arriba como para abajo, unas pocas generaciones más tarde la población vuelve a ajustarse de forma automática al valor de equilibrio (el lector debe convencerse de esto último jugando con el modelo).

Sin embargo esta no es una predicción genérica de nuestro modelo. Si usamos un valor distinto del parámetro r, por ejemplo 3,8, obtenemos la gráfica de la derecha. Al principio el comportamiento es muy similar: un crecimiento exponencial. Sin embargo en este caso el valor de la población no parece llegar a un equilibrio con el entorno. Para empezar el crecimiento se para de una forma muy brusca: la población pasa de ser 0,9 a ser 0,4. Es un colapso: la población ha consumido recursos demasiado rápidamente y se ha "pasado" de población, provocando una escasez de recursos para la siguiente generación. Además la población oscila sin ningún patrón aparente. Hay temporadas en las que la población se mantiene estable durante un par de generaciones o tres, pero hay ocasiones en que oscila entre 0,9 y 0,2.

¿Qué cambia en el modelo para que el sistema pase de ser estable a un comportamiento aparentemente aleatorio? ¿Cómo sucede este cambio? ¿En qué valor del parámetro r? ¿Es el comportamiento aleatorio realmente aleatorio? Seguiremos explorando este modelo en las siguientes entradas, pero mientras tanto... ¿qué pensáis vosotros? Una pista: el secreto está en las derivadas.

Po fueno, po fale, po malegro

Las simulaciones de los modelos de poblaciones son muy antiguas, y en concreto el sencillo modelo que hemos estudiado hoy, conocido como la ecuación logística data de 1845 (en realidad el modelo original era "continuo" en el tiempo. Nuestro modelo discreto se conoce como mapa logístico). Este modelo es un ejemplo lleno de fenómenos interesantes que el lector va a descubrir en las siguientes entradas: caos, atractores, bifurcaciones, etc...

El ser humano no es distinto del resto de los seres vivos en su tendencia a reproducirse de manera exponencial. La única diferencia es que debido a nuestra inteligencia somos capaces de obtener recursos para sostener este crecimiento en una variedad de entornos muy diversa. El ser humano habita a día de hoy en casi todos los rincones del mundo, y esta expansión, junto con avances tecnológicos en medicina, agricultura, etc..., han permitido que la población mundial haya crecido de forma ininterrumpida durante unos 10.000 años.

Algunas de las profecías apocalípticas sobre la sobrepoblación del planeta han resultado ser ridículas en extremo. Predecían un colapso para mediados de los años 70, que Inglaterra no existiría en el año 2000, o que el presidente de Estados Unidos disolvería el congreso tras una serie protestas debidas a la falta de comida en los 80. Sin embargo el que un número (en este caso: ¿cuanto puede crecer la población en la Tierra?) sea muy difícil de calcular no lo hace infinito. La población en la Tierra va a dejar de crecer en algún momento. Nadie sabe si será consecuencia de nuestras decisiones individuales, la migración espacial a otros planetas, o una serie de guerras, hambrunas y un colapso a escala global o localizado. Hay ejemplos históricos de los que, sin embargo, deberíamos tomar nota, en los que civilizaciones han colapsado debido, en gran medida, a una sobreexplotación del entorno. El libro Colapso de Jared Diamond, es sin lugar a dudas muy interesante de leer. El club de Roma publicó a principios de los años 70 un informe, basado en unas simulaciones informáticas, titulado Los límites del crecimiento en el que concluían que:

si el actual incremento de la población mundial, la industrialización, la contaminación, la producción de alimentos y la explotación de los recursos naturales se mantiene sin variación, alcanzará los límites absolutos de crecimiento en la Tierra durante los próximos cien años.

Aunque no faltan críticos, algunas de las predicciones de este modelo han resultado ser bastante acertadas. Las revisiones de las predicciones del modelo con datos recientes indican que la humanidad se encamina a un escenario de colapso en el siglo XXI. Parece ser que en los próximos 100 años vamos a comprobar si la humanidad es capaz de resolver la tragedia de los comunes.

Pero mientras tanto la fiesta sigue, y nosotros vamos a disfrutar de la compleja sencillez de nuestro modelo de población de juguete: el mapa logístico...