En nuestra entrada anterior habíamos dejado planteado el problema que Raleigh propuso a Harriot. En esta ocasión toca resolverlo. No es demasiado difícil admite enfoques diferentes. Aprovecharemos esta solución para introducir ideas que podrán ser útiles en otras situaciones.

Nuestro problema: calcular el número total de esferas que hay en un apilamiento cuando la base es un triángulo o un cuadrado.

 bolas1

En esta entrada nos centraremos el caso en el que la base es un triángulo. La figura resultante en el apilamiento tiene la forma de un tetraedro y, por esa razón, los números que vamos a calcular (que representan el total de bolas en el apilamiento) se llaman números tetraédricos.

De momento vamos a fijarnos en la base: dependiendo del número de bolas que conformen el lado del triángulo que será la base de nuestra pirámide obtendremos las siguientes configuraciones:

triangulares2

 

Esos números son los conocidos como números triangulares. Es fácil calcularlos puesto que se trata de la suma de términos de una progresión aritmética de diferencia 1 y cuyo primer término es también 1. Así, el número triangular tn (cuya representación es un triángulo de lado n) será

mth2_1

Así, conocido el tamaño de la base, el número tetraédrico se calculará sumando los n números triangulares que componen cada uno de los "pisos" del tetraedro:

mth2_2

Esto era lo que calculó Harriot. ¿Bien hasta aquí?

...pues seguimos.

 

Para calcular esas sumas hay varios procedimientos. Uno de ellos intentar deducir 'a ojo' el resultado y tratar de probarlo por inducción, pero no lo vamos a hacer así: hablaremos de este método en la siguiente entrada del blog. ¿Por qué? Simplemente porque estos días he estado explicando ecuaciones en diferencias finitas a mis alumnos y la deformación profesional (o la vaguería, o la rigidez de pensamiento, ...) me sugiere resolverlo por esa técnica.

En términos de una ecuación en diferencias nuestro problema se presenta mediante una relación de recurrencia:

mth2_3

Lo que hemos hecho ha sido expresar el (n+1)-ésimo número tetraédrico como el anterior tetraédrico más la suma del (n+1)-ésimo número triangular.

Nuestra ecuación es una ecuación lineal de primer orden no homogénea. El principio de superposición nos dice que sus soluciones son suma de una solución de la ecuación homogénea Tn+1 = Tn más una solución particular de la ecuación dada.

(Para los no acostumbrados a estas ecuaciones, el cálculo en diferencias viene a ser algo así como una versión discreta de la derivación).

La teoría nos dice que, en este caso, debemos buscar la solución a la ecuación completa como un polinomio de grado 3 en n. Sabemos además que T= 1.

Así

mth2_4

y, por tanto, 

mth2_5.jpg

Igualando coeficientes resulta que a = ⅙, b = ½, c = ⅓ y como T(1) = 1, ha de ser d = 0.

Así, tenemos la solución de Harriot para un apilamiento con base triangular.

mth2_6.jpg

Desde luego que hay otras formas más simples para calcularlo ¡pero no nos habrían dado la excusa de mencionar las ecuaciones en diferencias!

¿Podrá el lector resolver, de forma similar, la cantidad de esferas que tenemos en un apilamiento con base cuadrada?

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Fernando Blasco
Fernando Blasco

Profesor titular de Matemática Aplicada en la Universidad Politécnica de Madrid. Interesado por la divulgación matemática y la relación de la ciencia con la sociedad. Apasionado seguidor de Martin Gardner y su legado es autor de Matemagia (2007), El Periodista Matemático (2009) y Tu hijo puede ser un genio de las mates (2013). Colabora con museos de ciencia y participa en eventos de divulgación científica, dentro y fuera de España.

Web: Matemáticas y cultura

Sobre este blog

Una refrescante ensalada de matemáticas. En esta bitácora depositaremos algunos problemas y juegos de ingenio. También hablaremos sobre la relación de las matemáticas con otras disciplinas y con el día a día. Y hablaremos de lo que NO son las matemáticas.

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