La ciruela roja de Bertrand

04/10/2015 1 comentario
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El problema propuesto en la entrada anterior ha levantado no polémica pero sí una pequeña discusión. En el buen sentido: el científico. Esencialmente se han recibido dos tipos de comentarios. Los que pensaban que la probabilidad de sacar otra ciruela roja es 1/2 y los que pensaban que la probabilidad es 2/3. Los que llevan razón son estos últimos, aunque sea un resultado que, para casi todo el mundo, va en contra de la intuición.

Este problema fue propuesto por Joseph Bertrand en su libro Calcul des probabilités, por ello es conocido como paradoja de las cajas de Bertrand. El problema es antiguo, el libro se publicó en 1889, pero ha quedado difuminado por una versión, más o menos equivalente, conocida como paradoja de Monty Hall (otro día dedicaremos una entrada a este otro problema). En los comentarios que hemos recibido en la entrada anterior de est blog se puede ver cómo, incluso, es poosible argumentar a favor de la solución errónea.

Los lectores de esta entrada que no conocen el problema del que estamos hablando deberían ir a la entrada anterior de este blog, leer el problema, pensarlo y después seguir leyendo. Se sorprenderán.

ciruelas amarillas

A primera vista pensamos que la probabilidad de que obtengamos una ciruela roja es igual a la de que obtengamos una ciruela claudia: 1/2 puesto que los dos casos que quedan son el de la caja con ciruelas roja-roja y la caja con roja-claudia. Ahí, si esa fuese la situación inicial sí que sería la probabilidad del 50 %. Pero en nuestro caso no ocurre esto: no estamos eligiendo ahora, sino que ya habíamos realizado nuestra eleccción de caja.

Volvamos al instante inicial, en el que tenemos tres cajas. Dos de ellas tienen ciruelas del mismo tipo y una contiene ciruelas de los dos tipos diferentes. Al escoger, elegimos caja y no ciruelas. En este punto creo que nadie negará que lo más probable es elegir una caja con ciruelas del mismo tipo (esto es, una que contiene dos ciruelas rojas o dos ciruelas claudias). No es difícil calcular que la probabilidad de elegir una caja con ciruelas del mismo tipo es 2/3. Ahora metemos la mano en la caja y sacamos una ciruela, que resulta ser roja. Por ello, recordando que lo más probable es que hubiésemos elegido un caja con ciruelas del mismo tipo, deberíamos aventurarnos a decir que la otra ciruela es también roja.

Hay diferentes versiones de este problema. Destacaremos la original de Bertrand, en la que las cajas, en lugar de ciruelas, contienen monedas de oro y plata, y dos de Martin Gardner. Una de ella se conoce como problema de los tres prisioneros y fue publicado en Scientific American en octubre de 1959 (todavía no existía Investigación y Ciencia en ese momento). La otra, definida por el propio Gardner como el timo de las tres cartas, utiliza tarjetas en lugar de cartas. Podemos hacerlo con una que tiene las dos caras rojas, otra las dos azules y la tercera una cara de cada color. Ver que el problema es equivalente a este es muy sencillo. Y, quizá, se intuye mejor al pensar en cartas: estamos más acostumbrados a trabajar con ellas.

Aun así puede que todavía algún lector no se haya convencido de que el resultado es el que hemos indicado. Tiene varias opciones. Quizás la más entretenida es experimentar (con cajas y bolas de distinto color o cartas como las descritas) y observar la frecuencia relativa de acierto. Esto ayudará a la intuición y a comprender la solución. Otra posibilidad es hacer una simulación: un pequeño programa (o incluso una hoja de cálculo) puede también ayudar a resolver este problema. Una tercera opción es desarrollar, por completo un diagrama de árbol con todos los casos y comprobar la probabilidad (condicionada a que la ciruela vista sea roja) que tiene.

Conclusión: en los años de escuela se desarrollan muchas intuiciones: numéricas, espaciales, de orientación... pero no se presta atención a la intuición probabilística. Por ello muchos siguen confiando en que les tocará la lotería.