Harvard, un viaje sólo de ida

En esta época de viajes de ida y vuelta, viajes quijotescos e incluso viajes de placer, es difícil entender que algunos viajes en la Unión Soviética eran sólo de ida pues no había un lugar al que regresar. Muchos no se recuperaban de este desarraigo y se reunían para rumiar el pasado en el Russian Samovar de Nueva York, donde la nostalgia estaba censada como un tipo de carcoma. Sin embargo, con la perestroika las cosas estaban cambiando y Eduard consiguió su visado de salida en apenas un mes. El 15 de septiembre de 1989 se embarcó en un avión que le llevaría hasta el aeropuerto de JFK. Aunque él no podía saberlo, iba a ser un viaje sólo de ida.

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Tras dejar la Unión Soviética, muchos no se recuperaban de este desarraigo y se reunían para rumiar el pasado en el Russian Samovar de Nueva York, donde la nostalgia estaba censada como un tipo de carcoma.

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En Harvard todo era nuevo y emocionante para Eduard; había esa electricidad en el ambiente que caracteriza a los grandes departamentos de matemáticas del mundo. Muy pronto se encontró bajo la protección del gran Victor Kac y trabajando con Vladimir Drinfeld quien creía que el trabajo de Eduard sobre representaciones de álgebras de Kac-Moody realizado con Feigin en Moscú podía arrojar algo de luz sobre la aparición del grupo Langlands dual en el Programa de Langlands. Eduard sentía que en Harvard podría cumplir su sueño de convertirse en matemático pues allí el único límite eran el talento y las horas de sueño.

 Departamento de Matemáticas de Harvard

El Programa de Langlands

El Programa de Langlands es hoy día uno de los programas más ambiciosos en matemáticas, pero comenzó de la manera menos prometedora posible. El matemático canadiense Robert Langlands envió en 1967 una carta a André Weil repleta de ideas (especulaciones, en opinión del propio Langlands) que terminaba diciendo "Si desea leerla a modo de pura especulación, estaré encantado; si no... seguro que tiene usted una papelera a mano".

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(Langlands a Weil) Si desea leerla a modo de pura especulación, estaré encantado; si no... seguro que tiene usted una papelera a mano".

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En los siguientes párrafos vamos a intentar bosquejar las ideas fundamentales del Programa de Langlands. Si no trabaja en ello es probable que los ocho siguientes párrafos le resulten inteligibles. Tiene dos opciones; puede saltarlos y pasar al párrafo final que contiene el desenlace de la historia de nuestro héroe, o bien puede verlos como una guía de lectura, un pequeño apoyo para entender el Programa de Langlands tal como Frenkel lo explica en Amor y matemáticas, capítulos 16 y 17. Por supuesto, sería recomendable que consiguiera el libro en su librería de confianza y tratara de descifrarlos. Pero es sólo una sugerencia, claro.

Robert Langlands posando delante de una pizarra con algunas de las profundas conexiones que predice su Programa

En esta carta, Langlands especulaba sobre una relación profunda entre la teoría de grupos de Galois (definidos como el grupo de simetrías de cuerpos de números -obtenidos al añadir soluciones de ecuaciones polinómicas al cuerpo de los racionales-) y el análisis armónico (recordemos que el análisis armónico se basa en su versión más básica en que, bajo ciertas condiciones de regularidad, toda función se puede descomponer como una suma infinita de senos y cosenos). De manera específica, Langlands afirmaba que las representaciones del grupo de Galois estaban relacionadas con las llamadas funciones automorfas. Esta idea influyó de manera notable en las matemáticas del siglo XX; para entenderla mejor nos vamos a centrar en un caso especial de la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil (STW) la cual es fundamental pues implica el último Teorema de Fermat (como apunte, quizás convenga señalar que Andrew Wiles y Richard Taylor probaron en 1992 la conjetura STW).

 Las curvas elípticas son las protagonistas de la Conjetura STW (con permiso de las formas modulares)

Dada una ecuación cúbica (por ejemplo, y+ y = x3 - x2 que es, en particular, una curva elíptica), los matemáticos saben que el número de soluciones de una ecuación de este tipo módulo un primo p es aproximadamente igual a p; a la diferencia entre este número aproximado y el número real de soluciones de la ecuación y+ y = x- x2 (que dependerá del primo elegido) la denotaremos ap. Por otra parte, en 1954, Martin Eichler construyó la siguiente función generadora q(1 - q)(1 - q11)(1 - q22)2... cuyos coeficientes los denotaremos por bk (observamos que k puede ser cualquier número natural). El punto fundamental es que Eichler mostró que para cada primo p, a= bp. STW afirma que dada una ecuación cúbica existe una forma modular tal que a= bp (una forma modular es una función generadora invariante bajo la acción del disco de Poincaré). La conjetura que Langlands bosquejaba en su carta a Weil es una generalización adicional pues sustituye las ecuaciones cúbicas por representaciones n-dimensionales del grupo de Galois mientras que las formas modulares dan paso a las funciones automorfas.

 André Weil junto a su hermana Simone a una edad en la que creían que se podía ser feliz

La razón de que Langlands escribiera a Weil nos traslada a marzo de 1940, a la oscura cárcel de Bonne-Nouvelle de Rouen. Weil estaba preso acusado de deserción al negarse a servir en el ejército, pues consideraba que su dharma era hacer matemáticas, no sacrificarse como soldado en una guerra. Lo que importa para nuestra historia es que le envió una carta a su hermana, la célebre y desventurada filósofa Simone Weil, reflexionando sobre el papel de la analogía en matemáticas. De hecho, creía que los enunciados en teoría de números podían traducirse "palabra por palabra" y expresar verdades tanto en la teoría de curvas algebraicas sobre cuerpos finitos como en la teoría de superficies de Riemann. Por ejemplo, el último teorema de Fermat es equivalente a preguntarse si la curva x+ yn = zn (considerada en el plano proyectivo y para n mayor o igual que 3) tiene algún punto sobre los números racionales con xyz distinto de cero.

 Una superficie de Riemann

La correspondencia Langlands se puede trasladar sin mucha dificultad al contexto de la teoría de curvas algebraicas sobre cuerpos finitos. Sin embargo, esta correspondencia -bautizada de manera inesperada como Programa geométrico de Langlands- es mucho más delicada para superficies de Riemann. El grupo de Galois ha de ser sustituido por el grupo fundamental de la superficie de Riemann (el grupo de lazos sobre la variedad) y estudiar representaciones de estos objetos. Sin embargo, las funciones automorfas deben ser reemplazadas por haces automorfos pues, siguiendo una idea de Grothendieck, los haces son objetos fundamentales en geometría algebraica mientras que las funciones usuales son meras sombras de aquéllos. Precisamente, en Harvard, Drinfeld ayudado por Frenkel, estaba explorando una nueva forma de construir los haces automorfos usando las representaciones del álgebra de Kac-Moody del grupo fundamental.

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La correspondencia Langlands se puede trasladar sin mucha dificultad al contexto de la teoría de curvas algebraicas sobre cuerpos finitos. Sin embargo, esta correspondencia es mucho más delicada para superficies de Riemann pues las funciones automorfas deben ser reemplazadas por haces automorfos.

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Teoría de cuerdas en el Programa de Langlands

Al propio Frenkel -quien se ha convertido en casi un profeta del Programa de Langlands- le gusta ver el programa de Langlands como tres columnas paralelas: teoría de números, curvas sobre cuerpos finitos y superficies de Riemann. Sin embargo, esta teoría, que muchos conciben como la Teoría de la Gran Unificación de las matemáticas, albergaba una nueva sorpresa: había que añadir una cuarta columna proveniente de la física.

La teoría electromagnética de Maxwell se puede ver como una teoría cuántica de campos donde el grupo gauge es U(1) -un grupo abeliano, es decir, los elementos del grupo conmutan- y una de sus principales características es la simetría conocida como dualidad electromagnética que establece que, de alguna manera, la teoría eléctrica y la teoría magnética, son intercambiables. En 1954 Chen Ning Yang y Robert Mills construyeron teorías cuánticas de campos para grupos gauge no abelianos. Lo más sorprendente es que, años después, los físicos descubrieron que las teorías gauge con grupos no abelianos describen con precisión las fuerzas nuclear fuerte y nuclear débil (hay que tomar SU(2) y SU(3), respectivamente). Por tanto, parece natural preguntarse si en estas teorías gauge existe una simetría que generalice la dualidad electromagnética clásica. Claus Montonen y David Olive se enfrentaron a esta pregunta a finales de la década de 1970 y descubrieron que había una dualidad entre teorías gauge pero que si una teoría estaba gobernada por su grupo gauge, en su teoría dual aparecía -agárrense- el grupo Langlands dual. Por tanto, tiene que existir una relación entre la llamada dualidad Montonen-Olive y el Programa de Langlands. Esta relación fue sólo entrevista por Edward Witten treinta años después.

 Las branas son espacios donde viven los extremos de las cuerdas abiertas; en nuestra historia son de dos tipos: A-branas y B-branas

Aplicando la técnica de reducción bidimensional (de cuatro a dos dimensiones) a una teoría gauge como la que aparece en la teoría Montonen-Olive se obtiene un modelo sigma. En teoría de cuerdas, los modelos sigma describen el movimiento de cuerdas y se sabe que los modelos sigma que resultan por reducción bidimensional sólo pueden ser de dos tipos: Modelo A y Modelo B. El punto importante es que nosotros estamos interesados en cuerdas abiertas que, obligatoriamente, tienen sus extremos en una membrana (D-brana en lenguaje técnico). Entonces, aplicando reducción bidimensional a una teoría gauge 4-dimensional obtenemos un modelo sigma (digamos modelo A) que describe el movimiento de cuerdas abiertas cuyos extremos se mueven en unas D-branas especiales que llamaremos A-branas (por supuesto, las cuerdas abiertas en el Modelo B tienen sus extremos en B-branas).

Después de introducir los ingredientes, la idea de Witten (que años después desarrollaría con Anton Kapustin en el artículo Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program) fue aplicar reducción dimensional (de cuatro a dos dimensiones) para restringir la dualidad de Montonen-Olive de dos teorías gauge (gobernadas por un grupo gauge y su dual Langlands) a la simetría espejo homológica (homological mirror symmetry) alumbrada en 1994 por Maxim Kontsevich y que predice una simetría entre A-branas y B-branas. Lo verdaderamente interesante de este nuevo punto de vista es que, usando la simetría espejo homológica de Kontsevich, podemos construir de una manera radicalmente nueva los delicadísimos haces automorfos.

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Usando la simetría espejo homológica de Kontsevich, podemos construir de una manera radicalmente nueva los delicadísimos haces automorfos.

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Desenlace

En lo personal, Eduard también se sentía feliz. Se había comprado los vaqueros más a la moda y un walkman Sony, estaba enganchado al late-night de David Letterman en la NBC y compraba en supermercados repletos de comida (en su Kolomna natal sólo conseguía pan, leche y las verduras básicas, como patatas). Sólo había una cosa que perturbaba la placidez de su existencia, ¿Debía volver a Rusia después de los tres meses? A pesar de que le extrañaban mucho, sus padres le insistían en que se quedase en EEUU. Su inestabilidad era culpa de Boris Feigin, su maestro, quien le insistía en que era una obligación casi moral volver pues esta fuga de cerebros le parecía una traición, "como ratas que abandonan un barco que se hunde". La metáfora no es gratuita; a Kapuscinski le gustaba decir que la Unión Soviética era un tren parado, con las cortinas bajadas, que alguien movía de un lado a otro mientras otro aseguraba a los pasajeros que estaba en marcha. Mas algunos autores han señalado que durante la perestroika, la Unión Soviética ya no era ese tren a ninguna parte sino un maldito Titanic, aunque habría que añadir que no sonaba ningún violín sino el violonchelo alucinado de Rostropóvich.

 Frenkel explicando la relación entre la conjetura espejo homológica de Kontsevich y el Programa de Langlands

Sin embargo, a sus veintiún años, Eduard lo veía diferente: en Moscú iba a tener un trabajo como matemático aplicado cuyo sueldo sólo le permitiría alquilar una pequeña habitación y, para empeorar las cosas, era casi imposible que le admitieran como estudiante de doctorado por ser judío. Además, creía que los temores de Feigin eran infundados ya que Eduard estaba seguro de que sería capaz de mantener la motivación y la ética del trabajo, además de desarrollar su potencial a pesar de las tentaciones y comodidades capitalistas. Como se pregunta retóricamente Frenkel en Amor y matemáticas, página 220 ¿Cómo podía nadie esperar que esta gente fuera leal al país que los rechazaba e incluso intentaba evitar que trabajaran en el campo que amaban, cuando se presentaban oportunidades de una vida mejor en el extranjero? Cuando a mediados de diciembre Eduard, con sus vaqueros nuevos y su walkman, vio desaparecer a Feigin por una de las puertas de embarque del aeropuerto e Logan, sintió que empezaba para él una nueva vida en la que sería una persona diferente: Edward Frenkel, matemático.

— David Fernández

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Juan Luis Vázquez y David Fernández
Juan Luis Vázquez y David Fernández

Juan Luis Vázquez Suárez es catedrático de matemática aplicada en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM). Es Premio Nacional de Investigación Julio Rey Pastor (2003), miembro numerario de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales y doctor Honoris Causa por la Universidad de Oviedo.
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David Fernández es investigador post-doctoral en el Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) en Río de Janeiro. Su área de investigación es la geometría algebraica no conmutativa.
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En este blog sobre la República de las Matemáticas hablaremos de matemáticos con vidas interesantes, teoremas que anuncien cambios en la forma de pensar y conexiones que cartografíen las distintas áreas de las matemáticas. Aspiramos a combinar su eterno encanto con las sorprendentes novedades pues quizás estemos viviendo la edad de oro de las matemáticas, cuyas aplicaciones están presentes por doquier, y sería bonito poder explicarlo. Y eso vamos a intentar.

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