La periodicidad del calendario y las cadenas de WhatsApp

30/01/2018 6 comentarios
Menear

Como ya discutimos en un post anterior, el calendario es una fuente muy fructífera de curiosidades matemáticas. Hoy hablaremos de una cadena de Whatsapp que se está propagando reiteradamente. 

WhatsApp es sin duda una de las nuevas herramientas de comunicación más populares. Tanto es así que las antiguas cadenas de emails han sido sustituidas por cadenas de texto que se comparten sin piedad en distintos grupos. 

Recientemente he recibido una que me ha llamado la atención. Dice así:

Calendario de enero. (Esta será la única vez que verás este fenomeno en tu vida)
L M M J V S D
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31
El mes de enero de este año 2018 tendrá 5 lunes, 5 martes y 5 miércoles. Esto sucede solamente una vez cada 823 años. Los chinos lo llaman "BOLSO LLENO DE DINERO". Envía este mensaje a todos tus amigos y dentro de 4 dias el dinero te sorprenderá.
Basado en el Feng Shui chino, quien no transmita este mensaje puede perder esta gran oportunidad... Yo estoy haciendo mi parte, ¡nunca se sabe! 💰💰💰💰💰💰

 

Aparte de la superstición y el Feng-Shui la cadena tiene algo que me llama la atención. Afirma que se va a dar una combinación en el calendario y que no se repetirá de nuevo hasta dentro de 823 años. Esto me chirría ya que en este blog ya somos expertos en las matemáticas del calendario y esto no parece muy lógico (véase la entrada ¿Cae tu compleaños siempre entre semana? Las matemáticas del calendario).

Es fácil demostrar que la afirmación del calendario es falsa, basta con dar un siguiente contrejemplo. En 2024 se volverá a repetir un mes de enero como el que tenemos 

 2024

Esto ya es prueba suficiente de que el mensaje es incorrecto. Sin embargo, podría ser que esto ocurriera en otra ocasión. Así que la pregunta que responderemos hoy mediante el análisis matemático es la siguiente, ¿hay alguna particularidad en el calendario que tarde siglos en repetirse?

Para afrontar esta pregunta debemos comenzar por clasificar los tipos de años que tenemos. Aunque a priori pueda parecer complicada esta es una tarea muy sencilla. Cada año en realidad está determinado por dos variables, el día de la semana por el que comienza y si es o no bisiesto. Dos años cualesquiera que coincidan en esas dos variables tendrán una distribución de meses igual.

Así que, desde el punto de vista de la distribución de días, tenemos en realidad sólo 14 tipo de años en nuestro calendario.

14 variedades de años no parecen muchos, así que a priori parece improbable que alguno aparezca cada ocho siglos. Sin embargo, el problema sigue sin estar resuelto. Todavía sigue siendo posible que algún año tarde en aparecer. Esto se debe a que desde el punto de vista de la dinámica todavía tenemos una variable que no hemos tenido en cuenta. Está claro que dos años no-bisiestos que empiecen con el mismo día darán lugar a años iguales. Sin embargo, a uno puede seguirle un año no bisiesto mientras que al otro le puede seguir uno bisiesto. Entonces, para estudiar la dinámica del sistema tenemos que introducir una nueva variable para los años no-bisiestos. Esta variable será los años que quedan para un año bisiesto. Obviamente, sólo puede haber 3 posibilidades1, con lo que desde el punto de vista dinámico tenemos 28 posibilidades (7 no bisiestos x 3 + 7 bisiestos). 

Repasemos por claridad este último razonamiento. Con respecto a la distribución de los días en los meses sólo hay 14 tipos de años (7 por el primer día del año multiplicado por 2 por los años bisiestos). Ahora, para saber qué tipo de año precederá a otro tenemos que tener en cuenta 28 tipos de años (7 no bisiestos x 3 + 7 bisiestos).

Este análisis ya refuta la tesis de la cadena de Whatsapp. Si sólo tenemos 28 tipos de años es imposible que ninguno tarde 800 años en repetirse. Podría pensarse que se puede repetir alguno y que otro tarde más en aparecer, pero eso es imposible. A cada año de esta clasificación le sigue siempre el mismo, de modo que una vez repitamos comenzamos de nuevo un bucle del que no podemos salir. Así que es matemáticamente imposible que ninguna combinación tarde más de 28 años en repetirse.

Si queréis saber cuánto tarda en repetirse cada tipo de año podéis hacer un mapa con las transiciones de cada una de las 28 posibilidades. Eso es algo trabajoso, pero es un buen ejercicio mucho más divertido que un sudoku.

¡¡Y no os creáis todo lo que leéis en Whatsapp!!

 

 Porque hay 3 años no-bisiestos entre 2 años bisiestos consecutivos. Nótese que estamos obviando la regla Gregoriana, que no añade mucha más variedad.