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  • 18/11/2018

Teoría de números

Infinitas curvas, pero solo dos tipos básicos

El trabajo de Alexander Smith sobre la conjetura de Goldfeld descubre características fundamentales de las curvas elípticas.

arXiv

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Esta es una representación gráfica de la curva y2 = x3 + 8. Es una curva elíptica de rango 1, con infinitos puntos racionales [David Song/Quanta Magazine. Fuente: Dorian Goldfeld].

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La variedad de las curvas elípticas podría parecer infinita, pero en realidad solo las hay de dos tipos. Este el resultado de una nueva prueba, lograda por un estudiante de doctorado de Harvard.

Puede que las curvas elípticas parezcan una rareza, pero no son más que unos objetos geométricos poco espectaculares, tan corrientes como una línea cualquiera, una parábola, una elipse. Alexander Smith ha demostrado, en un artículo publicado en Internet el año pasado, una conjetura formulada hace cuarenta años relativa a una característica fundamental de las curvas elípticas, el rango. Smith probó para una determinada familia de curvas (con una cualificación) que la mitad de las curvas tienen rango cero y la mitad, rango 1.

Este resultado establece las características básicas de unos objetos que vienen interesando a los matemáticos desde hace siglos y cuya importancia ha crecido en los últimos decenios.

«Llevamos pensando en esto más de mil años y ahora nos hacemos cierta idea probabilística [sobre las curvas elípticas]», dice Shou-Wu Zhang, matemático de la Universidad de Princeton que asesoró a Smith al principio de su trabajo, cuando Smith tiodavía estaba estudiando la carrera en Princeton.

Las curvas elípticas son ecuaciones con una variable elevada a la tercera potencia, como y2 = x3 + 1. Figuran en muchas demostraciones importantes de los últimos tiempos, como la Andrew Wiles de la conjetura de Fermat en 1994. Su potencia les viene en parte de que son el tipo de ecuación polinómica más complicado del que los matemáticos tienen algún conocimiento sistemático.

«Las curvas elípticas vienen a ser el caso más interesante», según Dorian Goldfeld, el matemático de la Universidad de Columbia que propuso la conjetura que lleva su nombre en 1979.

La conjetura de Goldfeld consiste en una predicción sobre los rangos de las curvas elípticas. El rango es una forma de medir la complejidad del conjunto de las soluciones racionales (las que se pueden expresar como fracciones). Aunque no hay un límite demostrado de lo alto que puede ser el rango de una curva (la curva de mayor rango encontrada por los matemáticos es 28), la conjetura de Goldfeld predice que la mitad de las curvas elípticas tiene un rango 0 y la mitad, un rango 1.

Parece natural preguntarse cómo es posible que haya curvas elípticas de rango mayor que uno si una mitad tiene rango 0 y la otra rango 1. Si se tiene una caja llena de pelotas de pingpong y se sabe que exactamente la mitad son negras y la mitad blancas, se sabrá que no hay alguna roja escondida por ahí.

Más desconcertante aún es que no hay solo unas cuantas curvas elípticas de rango 2 o mayor, sino infinitas. Esto que parece tan absurdo es consecuencia de la resbaladiza estadística del infinito. Aunque haya muchas curvas de rango 2 o superior, estadísticamente son insignificantes. Si se pusiesen todas las curvas en una caja y se escogiese una al azar, la probabilidad de que tuviesa un rango mayor que 1 es oficialmente cero.

¿Qué significa que una curva tenga rango 0? Que tiene un número finito de puntos racionales: no más de 16, como demostró Barry Mazur en la década de 1970.

Hay razones para creer que muchas curvas elípticas tienen rango 0. Si se representa gráficamente cómo va surcando una curva el plano, la mayoría de los puntos que atravesará no serán racionales: no se podrán expresar como fracciones, no importa lo elaboradas que sean. La probabilidad de que una curva dibujada al azar intersecte muchos (infinitos) puntos racionales es pequeña.

«Mi filosofía al respecto es que si uno mira una curva elíptica aleatoria, hay buenas razones de que sea de rango 0. No quiere tener puntos racionales», dice Smith.

La ubicuidad de las curvas de rango 1 tiene una explicación parecida. Las curvas de rango 1 tienen infinitos puntos racionales, pero todos están alineados ordenadamente: se puede conectarlos mediante un procedimiento hasta cierto punto simple.

Esta es una representación gráfica de la curva <em>y2 = x3 + 1</em>. Es una curva elíptica de rango 0, con cinco puntos racionales [David Song/Quanta Magazine. Fuente: Dorian Goldfeld].Esta es una representación gráfica de la curva y2 = x3 + 1. Es una curva elíptica de rango 0, con cinco puntos racionales [David Song/Quanta Magazine. Fuente: Dorian Goldfeld].

Las curvas de rango 2 o mayor tienen conjuntos de puntos racionales más complicados. Han de contener múltiples subconjuntos infinitos de puntos racionales que no se conectan fácilmente entre sí.

«¿Qué posibilidad hay de tener dos puntos independientes?», pregunta Goldfeld. «No parece nada fácil. Mi conjetura dice que ha de ocurrir muy raramente».

Cuando Goldfeld presentó su conjetura, la mayoría de los matemáticos pensó que era falsa. Sacaban a relucir unos experimentos computacionales que daban a entender que las curvas de rango 2 o mayor se dan mucho más a menudo que el 0 por ciento del tiempo.

Goldfeld replicó que no estaban arrojando sus redes suficientemente lejos. Si solo se estudian los diez primeros números enteros se llega a una estimación, completamente errónea, de que el 40 por ciento de los enteros son primos. De manera parecida, estos experimentos computacionales extrapolaban, a partir de unos pequeños subconjuntos de curvas elípticas, lo que valdría para unas familias infinitamente grandes de curvas.

«Dije: ¡fijaos en los primos! Esa fue mi respuesta. Tenéis que ir mucho, mucho más arriba porque puede que al principio aparezcan muchas cosas raras», dice Goldfeld.

Alexander Smith ha demostrado que Goldfeld tenía razón. En su nuevo artículo, demuestra que el cien por cien de las curvas elípticas1 tienen rango 0 o 1. Prueba también que esas curvas se reparten por igual entre los dos rangos, pero este paso tiene una salvedad. Su prueba del 50/50 entre los rangos depende de que sea cierta la conjetura de Swinnerton-Dyer. Esta es uno de los problemas pendientes más famosos de las matemáticas. Se está lejos de haberla demostrado, pero los matemáticos suelen creer que es cierta.

Aun con esa salvedad, el resultado de Smith ha sido recibido como un logro memorable. Los matemáticos dicen que señala una forma de demostrar por completo la conjetura de Goldfeld sin tener que vérselas con la temible conjetura de Swinnerton-Dyer. Lo consigue ofreciendo una nueva forma de entender la naturaleza subyacente de las curvas elípticas.

«El trabajo de Alex Smith no puede ser más apasionante; creo que todavía hay que estudiarlo y apreciarlo por completo», dice Melanie Wood, matemática de la Universidad de Wisconsin en Madison. «Es muy importante, un verdadero avance, haber podido hacer algo así».

 

 1 La conjetura de Goldfeld no se refiere a las curvas elípticas en general, sino a familias especiales de curvas elípticas, las torsiones (twists) cuadráticas. Un ejemplo: la curva elíptica cy2 = x3 - x, donde c es una constante. Variando el valor de esta se retuerce la curva elíptica. La conjetura de Goldfeld se refiere a las infinitas curvas diferentes que se obtiene variando c.

 

Kevin Hartnett / Quanta Magazine

Artículo traducido por Investigación y Ciencia con permiso de QuantaMagazine.org, una publicación independiente promovida por la Fundación Simons para potenciar la comprensión de la ciencia.

Referencia: «2-Selmer groups, 2-class groups, and Goldfeld's conjecture», de Alexander Smith en arXiv:1702.02325 [math.NT].

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