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17 de Julio de 2019
Matemáticas

La aleatoriedad puede hacer que las matemáticas sean más fáciles

Puede dar la impresión de que la aleatoriedad dificulta la demostración de un enunciado matemático. En realidad, ocurre lo contrario.

Una superficie aleatoria construida pegando triángulos entre sí [por cortesía de Nicolas Curien (fragmento); colores: Olena Shmahalo/Quanta Magazine].

Entre todas las herramientas de que dispone el matemático, podría parecer que la aleatoriedad no ofrece muchos beneficios. Las matemáticas se traen entre las manos lógica y rigor. Sus metas generales son el dar con orden y estructura en un vasto mar de objetos. Si la empresa acometida por las matemáticas resulta posible es precisamente porque el mundo matemático no es aleatorio.

Sin embargo, en una prueba reciente la aleatoriedad ha marcado la diferencia. El resultado se refiere a patrones, llamémosles ajedrezados, que se dibujan sobre espacios geométricos construidos al azar. Los autores de la prueba vieron que la aleatoriedad del espacio geométrico facilitaba la descripción de esos patrones. «Sorprende un poco que añadir aleatoriedad permita hacer más de lo que se puede» sin ella, dice Nicolas Curien, matemático de la Universidad de París Sur y coautor del trabajo.

Resulta que la aleatoriedad ayuda a las matemáticas de muchas maneras.

Por ejemplo, los matemáticos suelen querer probar que un objeto que tiene ciertas propiedades existe, un objeto geométrico, por ejemplo, que exhiba unas determinadas simetrías. La forma más directa de resolver estos problemas de existencia es hallar un objeto con las propiedades buscadas. Pero para eso hay que tener suerte. «Exhibir un objeto concreto con la propiedad de que se trate puede ser difícil», dice Martin Hairer, ganador de la Medalla Fields que trabaja con procesos aleatorios.

Si es improbable que un ataque frontal contra el problema tenga éxito, cabe intentar uno por los flancos. Por ejemplo, quizá sí se pueda mostrar que, si se toman en cuenta todos los objetos de cierto tipo y se escoge uno al azar, habrá una posibilidad mayor del 0% de que el seleccionado tenga la propiedad requerida. El pionero de este «método probabilístico» fue el matemático Paul Erdös.

La aleatoriedad se puede usar también para encontrar una ruta hacia una solución no aleatoria. Es lo que ocurre en esa reciente prueba de los patrones sobre una retícula. Los investigadores estaban interesados en un proceso llamado percolación, en el que se quiere saber cuáles son las condiciones que hacen posible viajar sobre puntos de un mismo color desde un lado de la retícula hasta el otro.

Cuando se dibuja una trayectoria así ateniéndose a reglas deterministas (a lo largo de líneas rígidamente determinadas en una retícula regular), cada paso en la trayectoria está limitado por todos los dados antes. En el caso de una retícula complicada, ese requisito es un lastre. Recuerda a lo que pasa en un rompecabezas Tetris: es fácil poner las primeras piezas, se puede colocarlas donde se quiera, pero luego es mucho más difícil: tienen que adaptarse a todas las piezas que se han puesto antes.

Sin embargo, cuando la trayectoria se traza al azar no hay que preocuparse de los pasos anteriores. Casa paso es, en cierto sentido, tan libre como el primero: para decidir adonde se va a continuación basta con tirar una moneda al aire.

Los matemáticos intentan sacar provecho de esto. Hay una conjetura, la llamada fórmula KPZ, que les dice a los matemáticos cómo se convierte un resultado sobre la retícula aleatoria en un resultado para la determinista y viceversa. «En teoría, significa que se tiene la libertad de computar» con el lado aleatorio o con el determinista, explica Olivier Bernardi, matemático de la Universidad Brandeis y coautor del artículo reciente. Y este nuevo trabajo es congruente con los resultados anteriores (mucho más difíciles de probar) sobre la percolación en retículos regulares, lo que valida la fórmula KPZ.

Si las matemáticas fuesen más fáciles, los matemáticos no tendrían que recurrir a la aleatoriedad. Pero la mayoría de las cuestiones matemáticas importantes son demasiado difíciles para que las respondan directamente. «Quizá sea evidente, pero es bueno recordarlo, que un problema que se enuncia en matemáticas o en física teórica es, la mayor parte de las veces, imposible», dice Paul Bourgade, matemático de la Universidad de Nueva York. «Sencillamente, no tenemos las herramientas para resolverlo». En algunas de esas situaciones, la aleatoriedad afloja las cosas lo suficiente para que sea posible una solución».

Kevin Hartnett / Quanta Magazine

Artículo traducido por Investigación y Ciencia con permiso de QuantaMagazine.org, una publicación independiente promovida por la Fundación Simons para potenciar la comprensión de la ciencia.

Referencia: «A Boltzmann approach to percolation on random triangulations», de Olivier Bernardi, Nicolas Curien y Grégory Miermont en arXiv:1705.04064 [math.CO].

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